Расход цемента на: Расход цемента на 1 куб раствора – сколько его нужно, в зависимости от марки бетона - Стройматериалы в Иркутске

Расход цемента на 1 м3 бетона

Цемент: расход на 1м3 бетона

Бетон – один из основных элементов, используемых при строительстве. Без него нельзя возвести промышленное здание, частный дом, большое строение общественного назначения.

Бетон получается благодаря смешиванию воды, цемента и дополнительных разбавителей в разных пропорциях. Он используется при заливке фундамента, монтаже стяжки, кладке кирпича.

От состава материала напрямую зависит срок службы и жесткость конструкции. Важно рассчитать правильные соотношения, условия выдержки, плотность вещества и подвижность элементов.

При неправильно составленном замесе риск разрушения здания сильно повышается. Правильный расчет увеличивает эффективность строительства, помогает снизить риск задержки, срочного ремонта. Правильно определенный расход на 1м3 бетона обеспечивает высшее качество.

Состав бетона

Бетон в строительстве

Во время проектирования здания важно точно высчитать количество требуемых материалов для создания основы.

Часто цена доходит до 1/3 от общей стоимости дома.

Для определения кубических размеров, площади здания, необходимо перемножить высоту, длину и ширину территории.

Для приготовления раствора понадобится:

Вода
Щебенка
Цемент
Песок
Большая емкость
Бетономешалка
Стандартные ведра

Во время смешивания компонентов количество материалов измеряют в лопатах (ведрах). Нужно учитывать характеристики, марку компонентов, требуемые конечные свойства смеси, чтобы рассчитать расход бетона на 1м3.

Нужно учесть:

Щебень: масса, сухость, прочность, количество пустот, чистота.
Песок: масса, объем, зернистость, количество примесей, глины, влажность.
Цемент: время схватывания, масса, активность.

Расход количества цемента

Разновидности цемента

Обычно для приготовления бетона используют параметры: цемент 400 – одно ведро, дополнительные элементы – 3 ведра песка, 5 щебня, вода 0,7.

Объем воды сильно не контролируется, рассчитывается от нужной пластичности смеси.

В данном случае массовая доля составляет 1-3-5. В среднем расход цемента на 1 м3 составляет 300-350 кг.

Это значение, в основном, используется при самостоятельном приготовлении смеси.

Готовый раствор схож по параметрам с маркой бетона m300, цемент m400.

Бетонные марки имеют определенную градацию от M100, M300, M400 и далее. Расход цемента рассчитывается исходя из марки. Классификация показывает максимальную прочность при сжатии на 1 см в квадрате.

Цемент расходуется исходя из требуемой марки бетона. Для простых изделий понадобится M100, цемент M300/400. Примерный расход такого состава – 225 кг на 1м3.

Расход на 1м3 бетона М150, 200, 300 при использовании цемента 300,400,500,600 составит от 265 до 380 кг. Такой раствор подойдет для железобетонного крепления.

Бетон M400, 500 с цементом марки 600 на 1м3 понадобится примерно 500 кг.

Также количество требуемых материалов зависит от объема воды. Таблица примерного соотношения при использовании гравия.

Бетон – M	Цемент – M	Вода
100	200-300	0.68:0.75:0.8
150	200-600	0.5:0.57:0.66:0.7:0.72:0.75
200	200-600	0.35:0.43:0.53:0.58:0.64:0.66
250	200-600	0.25:0.36:0.42:0.49:0.54
300	250-600	0.28:0.35:0.42:0.49:0.54
400	400-600	0.33:0.38:0.46

Количество расходных элементов также зависит от места, заполняемого бетоном. К примеру, при заливке фундамента используется наиболее массивный раствор, значит, что пропорции будут отличаться от материала, используемого при постройке стен.

Прочность раствора напрямую зависит от количества используемого цемента.

К примеру, когда при строительстве расходуется от 200 до 400 кг цемента, то прочность раствора увеличивается пропорционально массе. Если расход цемента снижается ниже 250 или больше 400 кг на 1м3, то крепость снижается.

Данный факт также стоит учесть при создании бетонной смеси самостоятельно. Обычно, добавляя цемента свыше нормы, смесь плохо схватывается, растекается.

Проблема вызвана тем, что при использовании чрезмерного количества цемента, внутреннее напряжение при застывании слишком сильное.

Используемого наполнителя недостаточно, чтобы его погасить, вследствие этого бетон растекается и дает трещины. Нельзя уменьшать количество дополнительных материалов.

Расход дополнительных элементов

Песок и щебень для бетона

После определения необходимого количества цемента нужно рассчитать соотношение щебня и песка на кубический метр бетона.

Из одного кубометра высчитывается сумма массы цемента и воды.

В результате должна получиться доля, приходящая на песок и разбавитель.

Однако важно учесть размер песка, он влияет на конечное соотношение состава.

Чтобы правильно рассчитать расход нужно опираться на процентную долю от всего объема.

Щебень – мм	Процент % песка	Вода — м&sup3
70	35	170
50	39	177
40	41	185
25	46	194
20	49	203
15	52	220
10	56	232

Доля щебня и песка определяется, опираясь на приведенные данные. Формула: О щ (объем щебня) = (О раствора * %песка)/100.

Расчет материалов напрямую влияет на прочность бетона. Необходимый объем цемента нужно учитывать с точностью до килограмма, щебня до пяти килограмм. Лишь при таком варианте можно правильно рассчитать прочность, пластичность раствора.

О том, как замесить большое количество бетона одному в маленькой посуде — на видео:

Заметили ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter, чтобы сообщить нам.

foxremont.com

Какова норма расхода цемента на 1 м3 раствора/бетона?

Расход и марка цемента, использующиеся для приготовления 1 м3 цементных растворов или бетонов разных марок, являются отправной «точкой» для приобретения других компонентов: песка, щебня, извести и модифицирующих добавок.

Для удобства рачительных застройщиков привыкших расходовать свои средства оптимально рационально, приводим таблицу норм расхода цемента на 1 м3 раствора популярных марок, составленную на основании «главного» строительного документа «СП82-101-98».

Норма расхода цемента на кубометр раствора

Марка раствора	Рекомендуемая марка «вяжущего»	Расход цемента на «кубометр» раствора, кг
М200	М500	415
М400	480
М150	М500	345
М400	400
М300	490
М100	М500	275
М400	325
М300	395
М75	М500	220
М400	265
М300	335
М200	445
М50	М400	200
М300	250
М200	345
М25	М300	155
М200	215

Область применения раствора разных марок

Норма расхода цемента на 1 м3 раствора будет неполной, если не сообщить читателям, для каких целей можно использовать раствор той или иной марки:

Марка М25. Смешанный (сложный) раствор для кладки строительных конструкций;
Марка М50. Популярный смешанный сложный раствор для кладки кирпича (других видов «каменных материалов) и обустройства армированной («сеточной») стяжки пола;

Марка М75. Применяется для: каменно-кирпичной кладки, производства виброкирпичных конструкций, обустройства стяжек пола небольшой толщины, монтажа перемычек (длиной не более 2 метров), обустройства подземных коммуникаций, строительства конструктивных тяжело нагруженных элементов помещений производственных цехов;
Марка М100. Применение – строительные, кладочные и штукатурные работы всех видов, а также заполнение горизонтальных и вертикальных стыков панельных конструкций;
Марка М150. Используется для кладочных и штукатурных работ, отделки гидротехнических сооружений, укладки керамической плитки, обустройства чистовой стяжки, а также для заполнения швов панельных стен. Кроме того раствор М150 может быть использован для заливки фундаментов зданий расположенных на «слабых» и влажных грунтах;

Марка М200. Применяется для монтажа виброкирпичных панелей, заполнение стыков, штукатурных работ, гидроизоляции и укладки отделочных материалов.

Норма расхода цемента на 1 м3 бетона разных марок

В частном малоэтажном строительстве под понятием «бетон» обычно подразумеваются марки тяжелого бетона приготовленные из цемента М400 или М400, песка, щебня, воды и присадок (при необходимости). Поэтому приводя таблицу расхода цемента на куб бетона, имеется ввиду самый распространенный вид бетона – «тяжелый» бетон.

Таблица норм расхода цемента на куб бетона

Марка бетона	Рекомендуемая марка «вяжущего»	Расход цемента на «кубометр» бетонного раствора, кг
М100	М500	155
М400	185
М150	М500	190
М400	225
М200	М500	225
М400	265
М250	М500	280
М400	320
М300	М500	290
М400	338
М350	М500	345
М400	395
М400	М500	380
М400	445
М450	М500	415
М400	470
М550	М500	450
М400	500
М600	М500	500
М400	530

Область применения бетона разных марок

М100. Подготовительные работы к заливке фундаментов, плит и дорожных покрытий;
М150. Подготовительные работы к заливке фундаментов, плит и дорожных покрытий, а также заливка стяжек и обустройство садовых дорожек и отмосток;
М200-М250-М300. Строительство фундаментов малоэтажных зданий, заливка ненагруженных перекрытий, возведение стен, строительство заборов, обустройство площадок, отмосток и стяжек пола;
М350. Возведение фундаментов многоэтажных зданий, производство плит перекрытия, заливка взлетных полос аэродромов и строительство гидротехнических сооружений;
М400. Производство ЖБИ, строительство ответственных сооружений (банковских хранилищ) и т.п.;
М450-М550-М600. Производство ЖБИ специального назначения и строительства гидротехнических сооружений.

salecement.ru

Особенности расхода материалов на 1м3 бетона

Комментариев:

Рейтинг: 81

Оглавление: [скрыть]

Общие рекомендации по расчету материала
Расчет расхода цемента на куб бетона
Возможные нюансы расчета
Советы по изготовлению бетонной смеси

Многим, кто строит дом самостоятельно, очень важно знать, каким будет расход материалов на 1м3 бетона.

Таблица определения количества цемента в 1 куб. м бетона.

Общие рекомендации по расчету материала

Если не вдаваться в глубокие теоретические исследования, то, когда составляются пропорции, необходимо учитывать несколько важных нюансов, которые подтверждены практикой.

Количество применяемых ингредиентов всегда превышает объем всего продукта. Когда закладывается арматура, необходимо пользоваться только высококлассными марками бетона. Естественно, расход материала в этом случае увеличится. Согласно СНиП, нормированное количество цемента, когда имеют место железобетонные конструкции, должно быть в пределах 220 кг/1 м³. Когда он долго лежит на складе, снижаются его свойства, его марка становится ниже. Использование добавок в смесь оказывает влияние на классность бетона. Цемент средней рыхлости должен иметь плотность 1300 кг/1 м³. Цемент с водой должны находиться в пропорции 1:2.

Когда расход материала на 1 куб бетона доходит до 400 кг, происходит увеличение прочности. Если расход увеличивается в пределах 500 кг, изменение прочности не наблюдается. Если расход материала превышает 500 кг, прочность начинает уменьшаться.

Вернуться к оглавлению

Схема приготовления бетонной смеси.

Чтобы рассчитать расход материала конкретного объема бетона, требуется учесть точный вес цементного раствора. Расход щебня допустим с погрешностью в 5 кг. Данный расчет требуется для более точного определения коэффициента прочности материала. Таким образом, определяются его будущая жесткость и текучесть. Из практики хорошо известно, что от количества используемого цементного раствора зависит прочность бетона. Чем меньше цемента, тем прочнее он становится.

Прежде чем рассчитать требуемый объем, нужно выяснить, какая марка цемента больше всего подходит для данного объекта. Чтобы расход был более экономным, необходимо, чтобы марка цемента была больше марки бетона. При меньшей марке стоимость бетонного раствора на выходе окажется очень высокой.

Надо сказать, что расход материала в этом случае получится очень высоким.

При небольшом расходе материала на 1 куб бетона (иначе говоря, требования расходования не будут соблюдаться) быстрее всего получится некачественный материал. Если необходимо специально получить невысокую прочность, пользуются добавками:

Водоцементное отношение для бетона определяется по времени затвердения бетонной смеси, а также в зависимости от его марки. Сегодня очень популярным стал цемент марки М500. Когда приготавливается смесь цемента с песком для данного материала, соотношение выглядит следующим образом: на одну порцию цемента берутся три порции песка.

Расчет количества цемента и цементной пыли.

Для производства сложных деталей строительства, например, перекрытий, применяют другое соотношение. Берется одна порция цемента и смешивается с двумя порциями песка.

Конструкции, которые не подвергаются огромным нагрузкам, например, тротуары и дорожки, пользуются соотношением: одна порция цемента на пять порций песка. Количество применяемого щебня в бетонной смеси должно достигать 70% от всего объема цементного раствора.

Вернуться к оглавлению

Подвижность находится в прямой зависимости от добавленного объема цемента. Поэтому, когда приготавливается бетонная смесь, компоненты должны закладываться в следующих пропорциях:

цемент — 1 кг;
песок — 3 кг;
щебень — 5 кг.

Если все пропорции будут соблюдены согласно инструкции, на выходе получится материал очень высокого класса. Его будут отличать:

высокая прочность;
требуемая жесткость;
пластичность.

При большой погрешности, например, будет использовано недостаточное количество цемента, наполнитель не сможет удерживать связующий материал. В результате бетон, на который будут действовать разные массивные нагрузки, начнет очень быстро разрушаться.

Расход материала на 1 куб бетона во многом определяется маркой раствора, который будет изготовлен. Это во многом зависит от предназначения использования бетона. Для индивидуального строительства небольших зданий чаще всего применяется М200, который отличается высокой прочностью при сжатии. Его применяют для:

строительства фундаментов;
заливки площадок;
формирования дорожек;
строительства лестниц;
бетонной подушки.

М300 в основном применяется для получения монолитных фундаментов. Однако чаще его используют при строительстве стен и монтаже перекрытий помещений.

Когда приготавливается раствор, марка применяемого цемента всегда несколько больше марки получаемого бетона. Например, чтобы получить материал М200, нужно воспользоваться цементом марки М400.

Вернуться к оглавлению

Нужно всегда помнить, что цемент не хранится длительный период.

Специалисты скажут, что за месяц хранения его прочность уменьшается на 10%. Поэтому, когда в магазине приобретается цемент, необходимо смотреть, когда он был изготовлен. Например, можно купить материал, имеющий маркировку М300, однако за время хранения он потеряет некоторые свои свойства. Поэтому при приготовлении он по своим свойствам будет соответствовать марке М250. Этот фактор очень важен и должен обязательно учитываться, когда будут составляться нужные пропорции.

Опытные мастера не советуют делать сразу большие объемы замесов. Ведь цемент быстро застывает. Лучше приготавливать маленькие порции, которые позволят опытным путем получить нужный результат.

Для упрощения приготовления бетонного раствора компоненты нужно смешивать, соблюдая определенные пропорции.

Чтобы изготовить качественный материал, в котором будет минимум пустот, необходимо применять щебень самых различных фракций. Зернистость песка, применяемого для изготовления бетона, не должна превышать 3,5 мм.

Кроме того, песок не должен содержать никаких примесей глины. Ее присутствие сильно снижает прочность.

Вода, используемая для замеса, обязательно должна быть чистой. В ней не должно быть никаких водорослей или всевозможных взвесей.

Чтобы определить марку бетона, нужно иметь зубило и молоток. Если после удара молотка зубило погружается на 5 мм, можно говорить о марке М100. Если глубина погружения больше 5 мм, значит, прочность такого бетона меньше М75. Когда зубило не может погрузиться в бетон, а только откалывает маленькие кусочки, следовательно, прочность данного материала превышает 150 кг/см.

Количество используемой воды также влияет на свойства бетона. От нее зависит то, какой будет его пластичность, какова будет прочность, когда он полностью застынет. Когда определяется нужное количество воды, главным ориентиром должны быть жесткие бетоны, имеющие минимальную пластичность. Добавить воду намного проще, чем подсыпать наполнитель или цемент.

Жесткий бетон можно определить и по внешним признакам. Нужно на лопату положить немного смеси, она должна сохранять свою форму, не должна растекаться в разные стороны.Когда применяются наполнители, имеющие мелкую фракцию, необходим большой расход воды.

tolkobeton.ru

Расчет расхода материалов на 1м3 бетона

Бетон – важный элемент современного строительства. Без него не обходится возведение ни загородного коттеджа, ни крупного общественного здания. Этот материал изготавливают из воды, цемента и наполнителей. При помощи него выполняется создание фундамента, изготовление стяжки и кирпичная кладка. Долговечность и прочность конструкции зависит непосредственно от состава, плотности смеси, качества компонентов, условий выдержки, дозировки и подвижности компонентов. Если замес приготовлен неверно, то постройка подвергается риску разрушения. Чтобы строительство было эффективным, требуется точно рассчитать все расходные материалов. Это дает возможность избежать затруднительных переделок и задержек, выполнить всю работу качественно и в срок.

Расчет – наиболее важная часть строительства, так как его стоимость составляет 1/3 от стоимости строительства дома.

Особенно важно при проектировании дома рассчитать количество строительных материалов для фундамента, поскольку его стоимость доходит до трети стоимости всего дома.

Чтобы обеспечить высокое качество, необходимо тщательно определить расход компонентов на 1 м ³ (кубический м – это объем куба со сторонами в 1 м). Так, например, чтобы определить количество кубических метров, надо перемножить длину, ширину и высоту. Если длина составляет 4 м, ширина – 15 м, а высота – 1 м, то умножаем 1 на 15 и на 4. Произведение величин – 60 м³ (кубических метров, кубометров). Для приготовления понадобится следующее:

цемент;
вода;
песок;
щебень, гравий;
бетономешалка;
ведра;
бадья большого размера, литровая кружка;
листок бумаги, калькулятор.

Схема соотношения воды и цемента для приготовления.

При приготовлении расход материалов измеряют лопатой или ведром. Но даже при таком простом способе существуют свои условия добавления необходимого количества строительных ингредиентов и смешивания. Для того чтобы определить правильное количество ингредиентов, необходимо знать их характеристики. Стоит учитывать, какой марки и с какими свойствами бетон необходимо получить. От этого будет зависеть количественное соотношение компонентов на 1 м&³. Итак:

Для песка важны объем, вес, крупность, пустотность, примеси органических и глинистых веществ, влажность.
Для щебня – прочность, масса, влажность, пустотность, загрязненность, содержание игловатых и пластинчатых зерен.
Для цемента – его активность, вес, начало и окончание схватывания.
Для самой смеси – объемная масса, подвижность, прочность, водонепроницаемость, водоотделение.

Читайте также: Расчет на продавливание плиты перекрытия

Чтобы получить бетон определенной марки, необходим следующий набор материалов: 30 кг цемента, 90 кг песка, 150 кг щебня. Количество воды выражается в частях, то есть 15 л воды для данной смеси фиксируется как отношение, равное 0,5.

Расход цемента

вид изделия	бетон, марка	цемент, марка	расход
простые изделия	М100	300/ 400	225 кг
железобетонные изделия	М150М200М300	300/400400500/600	265 кг310-380 кг380 кг
армированные	М400/500	600	480-530 кг

Расход количества материалов также зависит и от воды. Соотношение воды на 1м3 при гравийном заполнителе составляет:

бетон, марка М	цемент, марка М	водоцементное соотношение
100	200250300	0,680,750,8
150	200250300400500600	0,50,570,660,70,720,75
200	200250300400500600	0,350,430,530,580,640,66
250	200250300400500600	0,250,360,420,490,560,6
300	250300400500600	0,280,350,420,490,54
400	400500600	0,330,380,46

Расход компонентов

Таблица расхода материалов на 1м3.

Далее можно приступать к определению необходимого количества на 1м3 гравия (щебня) и песка. Для этого из одного кубического метра вычитают сумму объемов цемента и воды. В итоге получается количество, приходящееся на песок и наполнители. Но здесь надо учесть, что песок бывает различной крупности (крупный, средний, мелкий, очень мелкий, тонкий), что влияет на соотношение компонентов.

Для определения правильного расхода материалов нужно учитывать процентное соотношение от общего количества:

размер щебня, мм	песок, %	вода, м³
10	56	230
15	52	220
20	49	200
25	46	195
40	41	185
50	39	177
70	35	167

Формула расхода материалов на 1м3.

Абсолютный объем щебня и песка высчитывается исходя из приведенных процентных соотношений по формуле: объем щебня равен произведению объема смеси на процентное соотношение щебня (песка), поделенному на 100. Пример подсчета материалов на 1м3. Например, необходимо получить бетон марки 200. Размер щебня – 40 мм, масса – 2,6 кг/л, для смеси водоцементное отношение – 0,57, плотность песка – 2,63 г/см³, плотность цемента – 3,1 г/см³. При этом расход цемента равен объему воды, то есть 325 кг. Необходимые данные нужно брать по таблицам.

Далее следует вычислить объем песка и щебня. Получается 710 л: 290 л песка, 420 – щебня. Затем определяются общие расходы: для щебня – 1092 кг, для песка – 763 кг. Итак, расход компонентов на 1 м³ составляет: вода – 185 л, цемент – 325 кг, щебень – 1092 кг, песок – 763 кг. Общая масса составляет 2363 кг/м³. Конечно, для точных расчетов материала необходимы определенные навыки, которые быстро приходят с практикой.

Читайте также: Керамзитобетон: пропорции и приготовление смеси

При расчете необходимо учитывать типы и особенности состава:

крупнопористый состоит из крупных заполнителей, воды и связующего. Заполнители используются самые различные: гравий, щебень, керамит, шлаковая пемза, топливные шлаки и другие. Песок отсутствует;
легкие разделяются на несколько подвидов: керамзитобетон, который в качестве наполнителя имеет крупный керамзит или пемзу (пемзобетон), и шлакобетон, в состав которого входят металлургические и топливные шлаки, клинкерные аналоги, зола, горелые породы. Значительно улучшает качество смеси введение в нее извести, можно добавлять каменную муку, глину.

Полезные советы

Состав смеси и расход материалов на 1 м3- таблица.

Расход цемента на 1 м³ производится с точностью до 1 кг, а расход щебня – до 5 кг. Только при таком подсчете можно определить прочность, жесткость и подвижность, и тем надежнее и плотнее он будет;

Чтобы цемент расходовался экономнее, его марка должна быть выше марки бетона, который необходимо получить на выходе.

При добавлении воды в раствор его объем уменьшается, поэтому при расчете цемента требуется весь объем умножить на коэффициент 1,3. Так, на 1 м³ кирпичной кладки обычно требуется 0,3 м³ раствора (около 100 кг). Так, расход цемента будет равен 100 кг на 1 м³ стены.

Самой оптимальной пропорцией для 1 м³ является: 0,5 м³ песка, 0,8 м³ гравия или щебня и определенное количество цемента. К примеру, для бетона марки М200, который широко используют для формирования дорожек и заливки фундамента, необходимо 280 кг цемента. Для бетона М300, который применяют при создании лестниц, стен, плит перекрытий, необходимо 380 кг.

1pobetonu.ru

Сколько цемента нужно на 1 куб раствора?

От правильного планирования норм расхода строительных материалов зависит не только срок окончания работ, но и в большей мере качество конструкции. Самое сложное в расчетах — точное соответствие технологическим нормам. К тому же, зная точное количество материалов, можно существенно сократить расходы на строительство, поскольку количество отходов будет сведено к минимуму.

Блок: 1/6 | Кол-во символов: 383
Источник: http://NashProrab.com/raskhod-cementa-na-1-kub-rastvora/

Расчет цемента на кубический метр раствора для штукатурки

При проведении штукатурных работ используются различные виды цементных растворов, обладающих различными свойствами. Как правило, применяется следующая пропорция: одна часть цемента на три части песка, однако учитываются и такие особенности, как плотность, вязкость и время на полное высыхание.

Для расчета количества цемента при обработке стены, необходимо учитывать параметры площади и толщины слоя. Так, для стены, не требующей выравнивания, площадь которой составляет 50 м2, при слое штукатурки 2см, расход цемента на метр квадратный будет равен 0,02 м3 (0,02х1х1). Учитывая пропорции 1:3, цемента потребуется 0,005 м3. Следовательно, для стены 50 м2 потребуется цемента 0,025 м3.

Другой способ

Раствор 1 м3 песка+1/3м3 цемента (333л)

333л х 1,4кг/л=466кг – количество цемента для одного куба раствора

Блок: 2/5 | Кол-во символов: 863
Источник: http://cemtown.ru/raschet-tsementa-na-kub-rastvora/

Особенности материала

Как правило, для того, чтобы замешать хороший бетонный раствор, нужно в определенной пропорции смешать цемент, песок и щебень. Расход каждого из этих строительных элементов разный.

Нужно быть крайне осторожным, замешивая подобную консистенцию: ведь неправильные соотношения песка, рассматриваемого компонента и щебня могут привести к печальным последствиям. Например, большое количество щебня приведет к тому, что между камешками останутся незаполненные цементом и песком пустоты. Они автоматически приведут к ухудшению качества бетонного изделия, что непосредственно повлияет на его использование.

Также получится и при замешивании с большим содержанием песка и маленьким — щебня. Расход цемента на один куб полученной конструкции заметно увеличится, однако прочности такой бетонной смеси все равно будет недоставать.

Блок: 2/4 | Кол-во символов: 842
Источник: https://1pokirpichy.ru/rastvory/rasxod-cementa-na-kub.html

От чего зависит расход цемента для разных растворов

Приготовление цементного раствора, пропорции которого могут отличаться, требуют чёткого следования технологии и правильного определения соотношения компонентов. Для применения бетона разных марок используется различное количество цемента и песка. Запомнить пропорции цемента и песка недостаточно для качественного строительства, лучше понимать принцип.

Требует чёткого следования технологии приготовление цементного раствора

Основные факторы, влияющие на расход:

количество наполнителей в смеси. Чем больше пропорция щебня, песка, тем выше расход цемента на 1 м3 раствора. Цемент является связующим компонентов, который отвечает за скрепление всех наполнителей воедино. Соотношение сыпучих смесей определяет количество цемента;
марка цемента. По мере увеличения марки повышается прочность конечного сооружения. При этом стоит помнить, что марка конечной смеси значительно ниже сухого цемента, так как в состав добавляется песок, а также может вноситься гравий или шлак;
марка раствора. Раствор цементно-песчаный также имеет разделение по маркам. Для всех видов работ в ГОСТе есть рекомендуемые марки. После определения желаемой марки строительной смеси, можно правильно подобрать марку цемента. Например, чтобы получить смесь М100 из цемента М500, потребуется смешать 1 часть портландцемента, 5,8 частей песка и 8,1 часть щебня. Если же конечная цель – раствор М450, потребуется пропорция цемента М500 (Ц:П:Щ) 1:1,4:2,9;

Плотность цемента здесь играет второстепенную роль, так как напрямую зависит от марки цемента, но её знать необходимо в процессе расчётов.

Вывод: сколько цемента потребуется на 1 м3 раствора зависит от необходимой прочности строительного раствора и марки изначальной смеси.

Плотность цемента напрямую зависит от марки цемента

Блок: 2/4 | Кол-во символов: 1799
Источник: https://pobetony.expert/raschet/rasxod-peska-i-cementa-na-1-kub-rastvora

Расход цемента и песка на куб раствора

Если добавить в раствор слишком много щебня, то между фракциями останутся полости, в которые не попал цемент, а, соответственно, изделие или элемент конструкции не будет монолитным и не будет соответствовать расчетной нагрузке и другим характеристикам. Отсюда и малый срок эксплуатации, преждевременные затраты на ремонт или вообще на замену вышедшего из строя элемента, если такое представляется возможным.

Та же самая история может произойти, когда пропорция песка превышает норму. В этом случае мы непроизвольно увеличиваем расход цемента на куб раствора для стяжки, но при этом не получаем необходимой прочности в любом случае. Отсюда и исходит золотое правило пропорций цемента:

ведро цемента;
три ведра песка;
пять вёдер щебня мелкой фракции.

Воды нужно добавлять ровно столько, сколько того требую технические условия, ни больше, ни меньше. Основной фактор, влияющий на качество и пригодность бетонной смеси для тех или иных условий, это марка и количество цемента. Кроме того, мы предоставляем несколько разных таблиц с примерными пропорциями для приготовления бетонных смесей совершенно разного предназначения.

Блок: 3/6 | Кол-во символов: 1162
Источник: http://NashProrab.com/raskhod-cementa-na-1-kub-rastvora/

Таблица расхода цемента и песка на 1 м3 раствора

Марка бетона	Расход цемента М500 кг/1м3
М100	170
М150	200
М200	240
М250	300
М300	350
М400	400
М500	450

Блок: 3/5 | Кол-во символов: 185
Источник: https://pobetony. ru/raschet/rasxod-cementa-na-kub-rastvora/

Общие сведения по результатам расчетов

Количество цемента

— Общее расчетное количество необходимого цемента на весь раствора.

Количество воды

— Общее расчетное количество необходимой воды на весь объем. Внимание! Окончательное количество воды подбирается опытным путем, в зависимости от влажности песка.

Количество заполнителей

— Общее количество песка (заполнителя) на весь объем в килограммах.

Плотность раствора

— Плотность раствора в сыром состоянии.

В/Ц

— Водоцементное соотношение.

Пропорции

— Относительное соотношение компонентов раствора. Ц — часть цемента; П — часть песка; В – часть воды.

Стоимость

— Стоимость каждого материала и общая на весь объем.

Блок: 3/3 | Кол-во символов: 689
Источник: http://stroy-calc.ru/raschet-rastvora

Информация по назначению калькулятора

Калькулятор строительного раствора предназначен для расчета пропорций и состава цементно-песчанных и цементно-керамзитовых растворов, подбора необходимой подвижности и расчета стоимости.

При заполнении данных, обратите внимание на дополнительную информацию со знаком Дополнительная информация

Строительство — сфера, в которой невозможно обойтись без цементного раствора. Прочность раствора зависит от того, какую марку цемента вы будете применять, от модуля крупности песка и соблюдении правил твердения. Строительный раствор необходимо использовать не позднее чем через 30 минут после изготовления.

Способ приготовления строительного раствора

Песок и цемент на сухую смешивают в необходимых пропорциях, и постепенно порциями заливают водой, до получения нужной подвижности. При необходимости в воде изначально разводят расчетное количество пластификаторов. Во избежание налипания раствора на стенки бетоносмесителя, воду необходимо вливать именно в смесь малыми порциями.

Необходимая марка раствора зависит от марки используемых материалов. Например, при кирпичной кладке с маркой кирпича М100, необходимо замешать раствор такой же марки. Для приготовления раствора под основание фундамента можно использовать раствор меньшей прочности, чем марка прочности фундамента. Для расчета необходимой марки и подвижности, воспользуйтесь калькулятором подбора состава и пропорций строительного раствора.

Расчет состава строительных растворов производится в соответствии с СП82-101-98: «Приготовление и применение строительных растворов» и ГОСТ 28013—98: «Растворы строительные. Общие технические условия».

Для более комфортной работы с цементными растворами необходимо применять пластификаторы, либо для бытовых работ обычные моющие средства. Они помогают достичь пластичности раствора и упрощают процесс замешивания. Выбор пластификаторов достаточно большой, необходимо выбирать наиболее подходящий для ваших условий, например в холодное время нужно использовать пластификаторы с противоморозными добавками.

Для кладки кирпича и строительных блоков существуют «теплые» растворы, с добавлением теплосберегающих связующих, таких как пенополистирол, керамзитовый и перлитовый песок. Такие растворы препятствуют потере тепла через «мостики холода» и делают стену более монолитной по своим свойствам.

Важным параметром является подвижность раствора. Необходимо подбирать именно ту, которая соответствует виду работ. Примерная таблица подвижности строительных растворов:

– кладка бутовых камней методом вибрирования

– обычная кладка бутовых камней; Монтаж стен и расшивка швов в стенах из крупных панелей и блоков

– кладка пустотелых и полнотелых кирпичей, строительных блоков; заливка пустот бутовой кладки

– Штукатурные работы

Существуют 3 типа растворов, различающихся составом.

Известковые растворы

— Прочность их меньше чем у чистого цементного раствора, однако, они теплее и имеет большую пластичность. Для изготовления используется известковое тесто, молотую негашеную известь и песок.

Цементно-известковый раствор

— В него входит цемент и известковое тесто. Он очень пластичен и обладает высокой прочностью, может применяться практически для любого вида кладки.

Цементно-песчанный раствор

— В его основе цемент и песок. Такая смесь без пластификаторов достаточно жесткая, а также малоподвижная.

Далее представлен полный список выполняемых расчетов с кратким описанием каждого пункта. Если вы не нашли ответа на свой вопрос, вы можете связаться с нами по обратной связи.

Блок: 2/3 | Кол-во символов: 3568
Источник: http://stroy-calc.ru/raschet-rastvora

Нормы расхода материалов на кубометр разных растворов

Сегодня есть 4 основные сферы использования бетона: фундамент, кладка, стяжка и штукатурка. В каждом случае к строительной смеси предъявляются особые требования, от чего разнится выбор цемента и его расход. Наибольший на куб бетона расход цемента наступает при необходимости сделать кладку или штукатурку. Расход материалов на 1 м3 фундаментного раствора несколько ниже за счёт использования крупной фракции наполнителя: шлака, щебня или гравия.

ГОСТ имеет записи о нормах расхода цемента на 1м3 раствора с учётом предназначения раствора. Обозначение бетона в куб. метрах является общепринятой системой измерения.

Нормы расхода цемента на 1м3 раствора

Нормативы расхода на 1 м3 с использованием цемента М500:

на М100 – 170 кг;
на М150 – 200 кг;
на М200 – 240 кг;
на М250 — 300 кг;
на М300 – 350 кг;
на М400 – 400 кг;
на М500 – 450 кг.

Нормы расхода цемента и песка на куб раствора для фундамента

Расчёт цемента на фундамент калькулятор – это простейший способ понять, сколько материала потребуется и количество необходимых компонентов. Расчет бетона можно произвести с высокой точностью и вручную.

Чтобы определить, сколько нужно цемента на 1 м3 раствора, рекомендуем следовать простой инструкции:

Нормы расхода цемента для фундамента

Определяем подходящую марку цементного раствора. Обычно в ходе создания фундамента целесообразно применять раствор М100-М300. Для низкоуровневых построек достаточно М100, если планируется строить несколько этажей – М150, а М200 и выше применяется в строительстве многоэтажных зданий и любых сооружений, к которым предъявляются повышенные требования прочности. Если фундамент строится под деревянное здание, достаточно раствора М50.
Подбираем марку цемента. Для стандартных задач подойдёт М300-М400 в пропорциональной части цемента к песку 1 к 3. При использовании цемента М500 – 1 к 5.

Сколько кг цемента в 1 м3 раствора:

в М50 при использовании М400 – 380 кг;
в М100 при приготовлении бетона из цемента М300 – 214 кг;
в М200 при цементе М400 – 286 кг;
в М300 при М500 – 382 кг.

Данные представлены, если в куб входит 2-4 части песка и 3 части щебня.

Нормы расхода цемента и песка на куб раствора для кладки

Для приготовления цементного раствора на строительство стены чаще всего применяется пропорция 1 к 4. Таким образом, расход цемента на куб составит 0,25 м3 или 325 кг, а расход песка на 1 м3 раствора – 0,75 м3 или 1200 кг.

Нормы расхода цемента для кладки

Чтобы рассчитать, сколько будет необходимо раствора на 1 м3 кладки кирпича, важно учесть толщину стены.

Таблица 1: Расход раствора на стены разной толщины

Толщина в кирпичах	Расход, м3
0,5	0,189
1	0,221
1,5	0,234
2	0,24
2,5	0,245

Чтобы рассчитать, сколько мешков с цементом потребуется, достаточно умножить 325 кг на расход на куб, например, стены в один кирпич – 0,221. Получится 72 кг цемента для кладки 1 м3 стены, при условии, если в составе нет других компонентов (извести, глины и т. п.).

Нормы расхода цемента и песка на куб раствора для стяжки

Расход цемента на 1 куб раствора рассчитывается по аналогичным правилам как и в предыдущих смесях. Рекомендуемая пропорция смешивания 1 к 3. Сложности в расчётах часто появляются ещё на стадии определения объёма раствора, поэтому рассмотрим наглядный пример. Необходимо залить поверхность 3х4 м или 12 м2. Толщина слоя составит 30 мм.

Нормы расхода цемента для стяжки

Расчет цемента на стяжку из примера:

Рассчитываем необходимый объём раствора: 12 м2 * 0,03 м = 0,36 м3.
Определяем марку цемента, часто используется раствор М200, его и используем для примера. Будем готовить из М500, а согласно нормативам, расход составит 410 кг.
Считаем необходимое количество мешков цемента: 410 кг * 0,36 м3 = 148 кг – это 6 небольших или 3 стандартных мешка по 50 кг.
Определяем затраты песка. Для этого умножаем удельный вес 1 м3 песка на необходимое количество готовой смеси: 1600 кг/м3 * 0,36 м3 = 576 кг, а так как доля песка в общем растворе 75%, ещё умножаем на 0,75 – 432 кг песка. Расход песка на 1 куб раствора приблизительно составляет 1200 кг/м3.

Нормы расхода цемента и песка на куб раствора для штукатурки

Расход цемента на 1 м2 штукатурки сильно зависит от качества покрытия стен, необходимой толщины слоя и количества крупных ям. Опять же, для наглядности приведём пример расчёта, помня, что обычно используется смесь 1 к 4. Входные параметры: необходимо покрыть 60 м2 стены штукатуркой в толщину 2,5 см.

Расчёты расхода цемента на 1 м3 и песка:

Количество материалов в кубах. На 1 м2 потребуется 1*0,025 = 0,025 м3 раствора, где пятая часть – цемент, а остальное – песок. С помощью элементарной математики определяем, что потребуется 0,02 м3 песка и 0,005 м3 цемента.
На всю площадь стены потребуется: 0,02 * 60 = 1,2 м3 песка и 0,005 * 60 = 0,3 м3 цемента.
Удельная плотность цемента в среднем 1400 кг/м3 (свежий 1100-1200 кг/м3, а слежавшийся 1500-1600 кг/м3). Определяем расход цемента: 0,3 * 1400 = 350 кг.
Необходимый вес песка: 1,2 * 1600 = 1920 кг, напоминаем, 1600 кг/м3 – удельный вес песка.

Все расчёты несложные, важно лишь правильно подобрать марку изначальной смеси и желаемую марку раствора на выходе. Всё остальное легко рассчитывается в несколько математических действий.

Блок: 4/4 | Кол-во символов: 5198
Источник: https://pobetony.expert/raschet/rasxod-peska-i-cementa-na-1-kub-rastvora

Расход цемента на штукатурку

«Классический» штукатурный раствор состоит из трех частей песка и одной части цемента (1:3).

Если средняя толщина слоя не превышает 12 мм, то на 1 м2 штукатурки нужно отвесить 1,6 кг цемента М400 или 1,4 кг цемента М500. Объем раствора на 1м2 рассчитать не сложно: 1м2х0,012 м = 0,012 м2 или 12 литров.

Блок: 4/6 | Кол-во символов: 333
Источник: https://greensector.ru/strojjmaterialy/normy-raskhoda-cementa-i-peska-na-beton-i-drugie-rastvory.html

Золотая пропорция бетонной смеси

В принципе, нормы расхода цемента вписываются в чёткие математические расчёты, но чтобы не перегружать черновой умственной работой строителей, созданы эти таблицы. Каждая из них соответствует принципам пропорционального соответствия, которые мы привели выше — 1/3/5. Соответственно, для получения гипотетической единицы готового раствора, необходимо смешать девять равных частей всех компонентов.

Чтобы не углубляться в курс арифметики за третий класс общеобразовательной школы, скажем, что для получения среднего кубометра раствора необходимо иметь 333 кг среднего цемента. Вся разница в пропорциях продиктована особенностями того или иного технологического процесса, в котором используется смесь — на куб раствора для штукатурки и на такое же количество смеси для прочной стяжки, естественно, количество цемента будет немного разным, что и указано в таблицах.

Блок: 4/6 | Кол-во символов: 898
Источник: http://NashProrab.com/raskhod-cementa-na-1-kub-rastvora/

Общая таблица расхода цемента в кладочном растворе для стен разной толщины (на 1 м3)

Вид кирпича		Толщина стен в кирпичах
Вид кирпича		0,5 (12см)	(25см)	1,5 (38см)	(51см)	2,5 (64см)
Обычный (250х120х65мм)	Кирпич, шт.	420	400	395	394	392
Обычный (250х120х65мм)	Раствор, м3	0,189	0,221	0,234	0,240	0,245
Модулированный (250х120х88мм)	Кирпич, шт.	322	308	296	294	292
Модулированный (250х120х88мм)	Раствор, м3	0,160	0,200	0,216	0,222	0,227

Блок: 5/5 | Кол-во символов: 473
Источник: https://pobetony.ru/raschet/rasxod-cementa-na-kub-rastvora/

Значение марки цемента

При этом также необходимо учитывать марку цемента. Не нужно каждый раз пересчитывать заново пропорции, если изменилось предназначение цементного раствора или марка цемента. Каждый из растворов маркируется соответственно марке цемента. Так, если бетон марки 300 необходим для устройства фундамента, а в наличии есть только цемент марки М400, достаточно свериться с таблицами, которые дадут необходимую поправку на расход цемента той марки, которая предполагается к использованию.

К примеру, чтобы получить куб бетона марки 100, необходимо потратить:

390 кг цемента марки 300;
300 кг м400;
примерно 250 кг цемента марки 500.

Блок: 5/6 | Кол-во символов: 648
Источник: http://NashProrab.com/raskhod-cementa-na-1-kub-rastvora/

Сколько купить мешков цемента?

Пока дело не дошло до замеса, застройщику важно знать, сколько мешков с цементом придется закупить. Здесь также следует отталкиваться от стандартных норм расхода.

Допустим, нам нужно подсчитать расход цемента на стяжку пола. Оптимальная пропорция для обеспечения высокой прочности — 1:4. Цемента для этой работы нам понадобится ¼ куба. Для перевода кубов в килограммы используют усредненный показатель насыпной плотности вяжущего: в 1 литре – 1,4 кг цемента.

1/4 часть куба это 250 литров. Умножив их на 1.4 кг, получим 350 кг цемента. Итак, нам всего придется закупить 350/50= 7 мешков цемента (по 50 кг) или 14 мешков по 25 кг.

Подсчитать расход вяжущего на 1 м2 стяжки можно «обратным ходом». При толщине в 10 см на заливку одного «квадрата» потребуется 0,1 м3 раствора. Цемента в нем содержится в 10 раз меньше, чем в 1 кубометре: 350 кг/10= 35 кг. Для стяжки толщиной в 5 см нам потребуется 35/2=17,5 кг цемента М500.

На норму расхода цемента сильно влияет такой его показатель, как активность. Она определяется экспериментальным путем при замесе контрольных образцов и испытании их на прочность. Для рядового застройщика такой метод не подходит. Практический метод, которым нужно пользоваться при покупке и перед использованием – срок хранения.

Потеря цементом своей активности может достигать 20 % за один месяц. Поэтому, продержав этот материал в гараже три месяца, вы вместо марки 500, указанной на этикетке, получите марку 400. Используя такой вяжущий материал для раствора или бетона, норму расхода берите именно для этой (пониженной) марки. Если же цемент ждет своего «звездного часа» полгода, то ни на что, кроме вывоза на свалку, он не годен.

Бдительность следует проявлять и при покупке вяжущего, требуя от продавца сертификат на покупаемую партию, в котором указана заводская дата выпуска.

Блок: 6/6 | Кол-во символов: 1854
Источник: https://greensector.ru/strojjmaterialy/normy-raskhoda-cementa-i-peska-na-beton-i-drugie-rastvory.html

Кол-во блоков: 18 | Общее кол-во символов: 21860
Количество использованных доноров: 8
Информация по каждому донору:

https://pobetony.expert/raschet/rasxod-peska-i-cementa-na-1-kub-rastvora: использовано 2 блоков из 4, кол-во символов 6997 (32%)
https://greensector.ru/strojjmaterialy/normy-raskhoda-cementa-i-peska-na-beton-i-drugie-rastvory. html: использовано 2 блоков из 6, кол-во символов 2187 (10%)
https://pobetony.ru/raschet/rasxod-cementa-na-kub-rastvora/: использовано 2 блоков из 5, кол-во символов 658 (3%)
http://NashProrab.com/raskhod-cementa-na-1-kub-rastvora/: использовано 5 блоков из 6, кол-во символов 3977 (18%)
http://cemtown.ru/raschet-tsementa-na-kub-rastvora/: использовано 3 блоков из 5, кол-во символов 1576 (7%)
http://stroy-calc.ru/raschet-rastvora: использовано 2 блоков из 3, кол-во символов 4257 (19%)
https://landelite.ru/skolko-cementa-na-kub-betona-dlja-stjazhki/: использовано 1 блоков из 2, кол-во символов 1366 (6%)
https://1pokirpichy.ru/rastvory/rasxod-cementa-na-kub.html: использовано 1 блоков из 4, кол-во символов 842 (4%)

Расход цемента на 1 куб бетона

Бетон является одним из наиболее распространенных материалов из всех, что используют в строительстве. Его основа — это щебень или гравий, а в качестве связующего отвердителя применяют водный цементно-песчаный раствор.

Чтобы посчитать, сколько нужно цемента на 1 куб бетона, нужно знать для чего он будет использоваться. В среднем на 1 м³ бетона потребуется от 240 до 320 кг цемента, в зависимости от марки бетона. Далее мы рассмотрим какую марку бетона следует выбирать для каких целей и какой расход цемента будет при изготовлении каждой из них.

Особенности расчета расхода цемента на 1 куб бетона

Расход цемента на 1м3 бетона является справочной информацией (при использовании цемента М500), которую для основных марок бетона отображает таблица расхода:

Маркировка бетона	Применение	Расход цемента М500 в кг на 1 куб бетона
М100	Легкий бетон, применяемый на подготовительных этапах предшествующих бетонным работам	166
М200	Бетон широкого спектра применения, чаще всего используется для заливки фундаментов	241
М300	Бетон широкого спектра применения, отличающийся хорошими прочностными свойствами	319
М400	Средний бетон, отличающийся быстрым застыванием, наиболее часто используется при строительстве гидротехнических конструкций.	417

Для получения высококачественного бетона, который обеспечит длительный срок службы конструкции, важно использовать компоненты в нужной пропорции.

Количество цемента влияет на подвижность бетона. Поэтому при приготовлении бетона точность закладки компонентов должна соблюдаться в следующих объемах:

Цемента — до 1 кг.
Песок — до 3 кг.
Щебня — до 5 кг.

Подробнее о данных пропорциях вы сможете прочитать в статье Соотношение щебня, песка и цемента в бетоне

В этом случае при соблюдении требуемых пропорций будет изготовлен высококачественный бетон, то есть:

Прочный.
С необходимой жесткостью.
Пластичный.

Если допустить большую погрешность, к примеру, в сторону уменьшения количества цемента, то связующий материал не будет удерживать наполнитель, а значит, бетон под воздействием внешних негативных факторов придет в негодность в короткое время.

Расход цемента на 1 куб бетона зависит от того, какую марку бетонной смеси планируется изготовить. А это зависит от того, для чего бетон планируется расходовать.

В бытовом малоэтажном строительстве наиболее часто применяются:

Бетон с маркировкой М200, отличающийся высокой прочностью на сжатие. Он используется при обустройстве различных типов фундаментов, заливки площадок и формирования дорожек. Также его часто используют при строительстве лестниц и в качестве бетонной подушки при установке бордюров.
Бетон с маркировкой М300. Он может быть использован для заливки монолитных фундаментов, но наиболее часто применяется при возведении стен и формирования перекрытий зданий.

Марка цемента, используемая при приготовлении бетона всегда в 1,5 или 2 раза выше марки приготавливаемого из нее бетона. Так, к примеру, для приготовления бетона М200 необходимо использовать цемент с маркировкой М300 или М400.

Для удобства приготовления бетона рекомендуется приобретать цемент в мешках по 50 кг. Использование такого средства измерения позволит с легкостью приготовить бетонную смесь. Так, для изготовления 1 куба наиболее популярного бетона с маркировкой М200 потребуется 4 мешка и 41 кг цемента марки М300 или М400.

К содержанию ↑

Мировое потребление цемента выросло на 2,8% в 2019 году

Согласно отраслевой статистике, недавно опубликованной в The Global Cement Report, 13th Edition, после двух лет умеренного снижения мировое потребление цемента, по оценкам, увеличилось на 2,8% до 4,08 млрд тонн в 2019 году.

Рост спроса в значительной степени объясняется расширением китайского рынка цемента в 2019 году, который, по оценкам, достиг 2.28 млрд, что на 4,9% больше, чем годом ранее, и составляет 56% мирового потребления.

Доля потребления цемента – Китай по сравнению с остальным миром, 2019 г.

Масштабы потребления цемента в Китае лучше всего можно проиллюстрировать, сравнив его с Соединенными Штатами: только за последние два года Китай потребил 4,44 млрд тонн цемента, больше, чем Соединенные Штаты за весь ХХ век.

Однако, после поразительного трехдесятилетнего перерыва в росте, потребление цемента в Китае в 2015 году замедлилось, упав на 5% из-за замедления экономики и сокращения правительством своих интенсивных строительных программ, поскольку оно пыталось следовать более устойчивому пути роста страны.

В долгосрочной перспективе потребление цемента в Китае будет снижаться в среднем на 2,5% в год (хотя объемы могут периодически увеличиваться ежегодно).

Годовой рост потребления цемента (%) – Китай по сравнению с остальным миром, 2014–2019 годы

За исключением Китая, мировое потребление цемента, по оценкам, осталось на уровне 1,81 млрд тонн, увеличившись всего на 0,3% в годовом исчислении.

Рост на втором по величине рынке мира, в Индии, оказался слабее, чем ожидалось, на уровне 3%, но это отражает сильную основу для сравнения с предыдущим годом, когда годовой рост превысил 15%.

По оценкам, в 2019 году спрос в США увеличился на 2,1%, в результате чего общее потребление снова превысило отметку в 100 млн тонн впервые с 2007 года, что знаменует собой отправную точку обвала рынка из-за кризиса ипотечных кредитов и Великой рецессии. .

В разбивке по регионам самые высокие темпы роста были зарегистрированы в странах Африки к югу от Сахары на уровне 5-6 процентов, хотя на совокупный регион приходится всего 101 млн тонн потребления цемента – столько же, сколько на все США. Однако в расчете на душу населения страны Африки к югу от Сахары имеют одни из самых низких уровней потребления в мире. В регионе потребление цемента на душу населения составляет всего 91 кг по сравнению со средним мировым показателем в 521 кг, что отражает как огромный потенциал региона в будущем, так и низкий уровень развития региона в настоящее время.

The Global Cement Report, 13-е издание уже выпущено и доступно для покупки. С более чем 170 профилями стран, полностью обновленной статистикой и онлайновой базой данных временных рядов, отчет широко признан ведущим статистическим справочником по цементной промышленности во всем мире.

Опубликовано под рубрикой Новости цемента

Потребление цемента по штатам

Отчет о тенденциях состояния и рынка показывает строительство цемента для каждого штата в 46 категориях:

Строительство зданий

Новый отдельно стоящий дом на одну семью
Новый пристроенный дом на одну семью
Многоквартирный малоэтажный дом
Дополнения, изменения и улучшения
Многоквартирный высотный дом
Малоэтажный отель/мотель
Высотный отель/мотель
Общежития
Техническое обслуживание и ремонт

Учебные корпуса/лаборатории
Государственные административные/служебные
Религиозные здания/похороны
Малоэтажные больницы/поликлиники
Многоэтажные больницы/поликлиники
Пассажирские терминалы
Социальные/культурные/развлекательные
Техническое обслуживание и ремонт

Магазины / Рестораны / Торговые центры Малоэтажные офисы/банки Высотные офисы / банки Здания/участки для парковки Коммерческие склады и терминалы Промышленные здания/склады

Предприятия сельскохозяйственного обслуживания
Техническое обслуживание и ремонт

Строительство общественных работ

Автомагистрали штата (городские и сельские)
Городские улицы и дороги
Сельские дороги
Автомобильные/пешеходные мосты
Техническое обслуживание и ремонт

Плотины и водохранилища
Развитие и контроль рек и гаваней
Системы водоснабжения
Санитарная / ливневая канализация
Водопроводные / канализационные туннели
Очистные сооружения

Энергетические/нагревательные/охлаждающие установки
Нефтяные/газовые/химические установки и резервуары
Электрика/газ/связь
Трансмиссия
Техническое обслуживание и ремонт

Парки / стадионы / спортивные площадки
Взлетно-посадочные полосы аэропортов / рулежные дорожки / освещение
Оборонные / космические объекты
Железные дороги / туннели / сигнальные системы

Нефтяные и газовые скважины
Добыча полезных ископаемых

Заказать

Свяжитесь с PCAMarketIntelligenceGroup@cement. орг.

Вернуться к Отчет о тенденциях состояния и рынка

Определение тренда: потребление цемента в сравнении с ВВП

Рост валового внутреннего продукта (ВВП) на душу населения, показатель среднего национального уровня жизни, может быть одним из факторов, влияющих на спрос на цемент. Индустриализация, вызванная экономическим ростом, приводит к соответствующему увеличению потребления цемента. Эта взаимосвязь хорошо известна и широко использовалась в прошлом как для оценки относительного экономического роста между странами, так и для прогнозирования вероятных темпов потребления цемента по мере увеличения ВВП данной страны.Именно этому последнему использованию посвящена текущая статья, в которой подробно изучается взаимосвязь двух переменных в течение нескольких лет, чтобы оценить актуальность показателей как точного инструмента прогнозирования.

PDF >

График зависимости ВВП от потребления цемента (см. рис. 1) является поразительным визуальным представлением стадии развития страны. Развивающиеся страны, такие как Китай, Южная Корея и Саудовская Аравия, мгновенно узнаваемы. Их спрос на цемент часто намного превышает спрос стран с сопоставимым ВВП и отражает значительные национальные инвестиции в инфраструктуру, осуществляемые в этих областях.

Напротив, небольшие страны с низким ВВП и небольшими инвестициями в инфраструктуру или без них имеют небольшое потребление цемента и плотно заселены в нижней части графика. В странах с более развитой экономикой, например в США и странах Западной Европы, потребление цемента соответствует показателям этих менее богатых стран, поскольку уже были сделаны крупные инвестиции в инфраструктуру и урбанизацию.

Зависимость между ВВП и потреблением цемента, построенная по нескольким источникам и годам, показывает общую склонность к потреблению цемента на уровне 600 кг на душу населения или меньше в странах с ВВП на душу населения, превышающим 25 000 долларов США.Эта модель обычно представлена линией тренда с устойчивым уклоном, который достигает плато или постепенно снижается, как только ВВП достигает этого порога. В большинстве лет большинство точек данных можно подогнать под эту модель, однако есть несколько регулярных исключений.

	2012		2010		2008
Страна	ВВП	Цемент	ВВП	Цемент	ВВП	Цемент
Бразилия	11 340	353	10 678	314	8623	271
Китай (официальный)	6091	1581	4433	1322	3414	1036
Индия	1489	191	1419	131	1042	148
Япония	46 720	400	43 118	370	37 972	446
Россия	14 037	402	10 710	355	11 700	430
Саудовская Аравия	31 800	1700	19 327	1522	19 714	1625
Сингапур	51 709	1035	42 784	820	36 972	940
Южная Корея	22 590	911	30 000	950	27 600	1114
Испания	28 624	438	29 863	453	34 977	936
Швейцария	78 925	560	70 370	637	68 555	601
ОАЭ	49 800	990	34 049	1757	46 310	4365
Великобритания	39 093	206	36 703	205	43 780	203
США	51 749	232	48 358	220	48 407	305
Катар	103 900	3023	71 510	4252	84 628	4710
Финляндия	45 721	302	43 846	336	51 186	360
Норвегия	99 558	343	86 156	340	95 190	401
Вьетнам	1755	560	1334	605	1165	417
Среднее мировое значение (оцен. )	10 281	536	9307	447	9211	420

	2007		2005		2002
Страна	ВВП	Цемент	ВВП	Цемент	ВВП	Цемент
Бразилия	7194	237	4739	199	2811	212
Китай (официальный)	2651	1001	1731	812	1135	562
Индия	1069	136	740	125	487	103
Япония	34 095	143	35 781	631	31 236	507
Россия	9146	429	5337	321	2375	248
Саудовская Аравия	16 049	1056	13 303	1207	8639	953
Сингапур	36 766	690	28 953	690	21 691	958
Южная Корея	25 000	955	22 600	955	19 400	1216
Испания	32 118	1300	26 056	1187	16 612	1067
Швейцария	59 664	602	51 734	601	39 350	551
ОАЭ	44 529	3244	43 534	3254	34 062	1911
Великобритания	46 848	238	38 545	210	27 322	202
США	48 070	365	44 314	413	38 175	385
Катар	69 024	3897	52 414	3314	30 749	Н/Д
Финляндия	46 538	386	37 319	326	25 994	299
Норвегия	83 556	433	65 767	380	42 292	242
Вьетнам	919	390	696	316	477	259
Среднее мировое значение (оцен. )	8498	416	7138	360	6262	292

Выше — Таблица 1: ВВП на душу населения (долл. США) и потребление цемента (кг на душу населения) за определенные годы.

Исключения из правил в 2012 году

Сингапур: Сингапур потреблял цемент в очень больших объемах в течение значительного периода времени.При таком низком уровне производства цемента, которым можно пренебречь, цемент составляет значительную долю национального импорта. ¹⁰

Потребление цемента в стране достигло 958 кг на душу населения в 2002 г., что более чем в три раза превышает среднемировой показатель за этот год, хотя ВВП еще не преодолел отметку в 25 000 долларов США. Когда в 2005 году экономика, наконец, превысила 25 000 долларов США на душу населения, потребление цемента значительно снизилось и едва превысило наблюдаемый «предел» в 600 кг при 690 кг на душу населения. То же самое было и в 2007 году, хотя рост в нескольких секторах ¹⁸ означал, что ВВП продолжал значительно увеличиваться до 36 766 долларов США на душу населения.

2008 год был первым годом, когда Сингапур действительно поднял голову над парапетом и превысил наблюдаемые «пределы» с уровнем потребления 940 кг на душу населения и ВВП в размере 36 972 долларов США на душу населения. Этот повышенный спрос на цемент стал результатом роста строительного сектора, вызванного увеличением как государственных, так и частных проектов20, включая завершение строительства площадки Формулы-1 в преддверии Гран-при Сингапура. ¹⁹

Рынок после 2008 г. оставался относительно оживленным, при этом потребление цемента лишь ненадолго снизилось до 820 кг на душу населения в 2010 г., что все еще вдвое превышает средний мировой показатель за этот год.Это потребление было вызвано увеличением расходов государственного сектора на проекты, включая государственное жилье и линию MRT Downtown Line. ¹² ВВП также продолжал расти, несмотря на финансовый кризис, хотя рост значительно снизился, всего до +1,1% по сравнению с увеличением на 7-9% в период с 2004 по 2006 год. ¹¹

ВВП на душу населения в стране в 2010 г. вдвое превысил показатель 2002 г. и частично обусловлен инвестициями государства в экономическое развитие; постоянное обязательство, на которое приходится 21.1% предполагаемых государственных расходов в 2010 г. ¹⁴

В 2012 году потребление цемента достигло значительных 1035 кг на душу населения, что отчасти обусловлено общими национальными расходами на строительство в размере 20,4 млрд долларов США. Ожидается, что в следующие пять лет будет наблюдаться дальнейший рост по мере реализации проектов государственного сектора, включая строительство больниц, колледжей и автомагистралей. ¹³ Это, в сочетании с ВВП на душу населения, который впервые превысил 50 000 долларов США в 2012 году, предполагает, что Сингапур останется исключением в модели ВВП по сравнению с потреблением цемента, по крайней мере, в ближайшие несколько лет.

ОАЭ: На протяжении более десяти лет как ВВП, так и потребление цемента в ОАЭ превышали пороговые значения, установленные данным исследованием. Даже значительное снижение обоих показателей после финансового кризиса не смогло привести показатели потребления в ОАЭ в соответствие с показателями ВВП современников, таких как Великобритания, потребление которой в 2010 г. было в восемь раз меньше, чем в ОАЭ.

Тенденция к такому очень высокому потреблению цемента до финансового кризиса (в 2008 году ОАЭ потребляли ошеломляющие 4365 кг на душу населения) была вызвана инвестициями в амбициозные архитектурные проекты.Это, в свою очередь, привело к увеличению ВВП, поскольку привлекло значительное внимание как со стороны сектора туризма, так и со стороны сектора коммерческой недвижимости. ¹⁵ Это означало, что когда разразился финансовый кризис, он сильно ударил. Строительные компании, вложившие значительные средства во время бума, внезапно оказались не в состоянии выполнить финансовые обязательства. ¹⁶

Потребление цемента в ОАЭ сократилось более чем наполовину в период с 2008 по 2010 год. Тем не менее, ОАЭ остались в стороне, несмотря на этот существенный удар. ВВП никогда не опускался ниже 34 000 долларов США, а уровень потребления оставался выше 600 кг на душу населения.К 2012 году ВВП восстановил докризисный уровень благодаря государственным программам диверсификации и инвестиций, а также молодому населению, которое стимулировало как рынок недвижимости, так и рынок инфраструктуры. ¹⁶ В отличие от этого, потребление цемента в том же году резко упало до 990 кг на душу населения, что является самым низким показателем за последние десять лет.

Согласно недавнему отчету Торгово-промышленной палаты Дубая, все должно измениться. В отчете прогнозируется рост стоимости строительной отрасли, который прогнозируется на 0.6 миллионов иностранцев будут стимулировать рост как на рынке жилой, так и на коммерческой недвижимости. ¹⁷ Это должно гарантировать, что в обозримом будущем ОАЭ сохранят позицию выброса на графике.

Катар: Позиция Катара в отношении графика отношения ВВП к потреблению цемента остается неизменно выше, чем у любой другой страны на протяжении более десяти лет. В этом нет ничего удивительного, учитывая, что в стране самый быстрый рост ВВП в мире ²² и низкая численность населения.

В 2003 году потребление цемента в стране (3314 кг на душу населения) было сопоставимо с потреблением ОАЭ, хотя ВВП Катара был намного выше и составлял 52 414 долларов США на душу населения. Строительный бум между 2006 и 2012 годами продолжал способствовать еще большему росту ВВП, а также стал причиной ошеломляюще высокого уровня потребления цемента, который достиг своего пика в 2008 году и составил 4242 кг на душу населения.

В отличие от ОАЭ, экономика Катара оставалась относительно устойчивой во время финансового спада. В период с 2008 по 2010 год ВВП упал с 84 628 долларов США на душу населения до 71 510 долларов США на душу населения, в то время как потребление цемента пострадало относительно незначительно, снизившись примерно на 10%. Это оживление было связано с продолжающимися государственными инвестициями, направленными на стимулирование финансового сектора ²², и означало, что к 2012 году ВВП на душу населения восстановился до огромных 103 900 долларов США. Напротив, потребление цемента в том же году сократилось гораздо больше, чем даже в пик кризиса, упав с 4254 кг на душу населения в 2010 г. до 3023 кг на душу населения в 2012 г.

Несмотря на это, Катар, похоже, сохранит свою позицию крупного мирового потребителя цемента. Успешная заявка на проведение чемпионата мира по футболу 2022 года означает, что в портфеле заказов есть ряд крупных инвестиций в инфраструктуру, при этом правительство, как сообщается, выделяет 40% своего бюджета на 2012–2016 годы на проекты, включая транспортный коридор в столицу и новую международную магистраль. аэропорт.²² Коммерческий банк Капитал прогнозирует, что пик потребления цемента в этих проектах будет в стране в 2013/2014 гг. ²⁰ Это, в сочетании с ВВП, который, по прогнозам, достигнет 112 000 долларов США на душу населения к 2016 году, ²² предполагает, что Катар будет по-прежнему выделяться на графике ВВП по сравнению с потреблением цемента.

Саудовская Аравия: В отличие от других стран, обсуждавшихся выше, ВВП Саудовской Аравии превысил только 25 000 долларов США на душу населения при уровне потребления цемента 600 кг на душу населения в 2012 году.Начав 10-летний период с 2002 г. с уровнем потребления, в три раза превышающим средний мировой уровень 2002 г., составляющий 953 кг на душу населения; Напротив, средний мировой ВВП за тот год едва ли составлял три четверти ВВП Саудовской Аравии. Оба показателя продолжали неуклонно расти в течение следующего десятилетия, в результате чего Саудовская Аравия прочно заняла место в группе «развивающихся стран» наряду с такими современниками, как Китай и Южная Корея.

Удар финансового кризиса коснулся как ВВП Саудовской Аравии, так и потребления цемента: ВВП упал на 385 долларов США на душу населения, а потребление цемента упало на 103 кг на душу населения в период с 2008 по 2010 год.На фоне бума в период с 2004 по 2008 год вся экономика Саудовской Аравии развивалась относительно хорошо, чему способствовали как государственные расходы, так и экономическая активность в течение 2009 года, что способствовало высоким показателям банковского сектора. ²³

Потребление цемента в Саудовской Аравии увеличилось до 1700 кг на душу населения в 2012 году по сравнению с 1522 кг на душу населения в 2010 году, а ВВП вырос на ошеломляющие 12 473 долларов США на душу населения до 31 800 долларов США за тот же двухлетний период.

На сегодняшний день потребление цемента в Саудовской Аравии обусловлено инвестициями по всем направлениям, включая промышленность, инфраструктуру и туризм.Эти проекты будут по-прежнему стимулировать потребление, при этом пик спроса ожидается в 2014 году. маловероятно, что оба показателя останутся столь завышенными по сравнению с общей глобальной тенденцией в будущем.

Китай: официальные и реалистичные цифры

Еще одним существенным исключением на графике является Китай.Официальные данные по Китаю помещают страну в число самых высоких потребителей цемента на планете — 1581 кг на душу населения. Хотя в стране явно наблюдается значительный рост инфраструктуры, эта цифра, возможно, довольно нереалистична, учитывая, что население Китая в 2012 году составляло 1,315 миллиарда человек. Потребление цемента такого размера для данного населения соответствовало бы национальному спросу в размере 2,0 млрд тонн, или около 60% от общего объема производства цемента в мире.

Еще одним фактором, который ставит под сомнение официальные данные Китая, является частота, с которой даже самые быстроразвивающиеся страны потребляют цемент в количестве, превышающем 1000 кг на душу населения.²⁷ Хотя это и не является чем-то неслыханным — и в Саудовской Аравии, и в Катаре уровень потребления нефти намного превышает 1000 кг на душу населения, — это явление относительно редкое и кажется несколько маловероятным в Китае, где постоянно растущий ВВП все еще ниже, чем в Китае. средний мировой показатель и намного ниже, чем в Катаре и Саудовской Аравии. Это ставит под сомнение здоровье строительной отрасли и количество капитала, доступного для стимулирования спроса на цемент, хотя, поскольку ВВП пропорционален численности населения, это, возможно, не самый репрезентативный показатель для страны размером с Китай. .

Global Cement ранее предполагала, что нереалистично высокий официальный уровень потребления в Китае является результатом либо завышенной оценки китайскими властями, либо искусственного раздувания строительного сектора за счет ненужных проектов, на которые отсутствует реальный спрос, либо комбинации того и другого. ²⁷ Источник, прошедший экспертную оценку, предложил более скромную цифру в 610 кг на душу населения. ²⁶ Это кажется более вероятным, поскольку соответствует все еще значительному, но более реалистичному общему национальному потреблению около 824 млн тонн.

Снимок не является долгосрочной мерой

Какой бы ценной ни была диаграмма ВВП по сравнению с потреблением цемента для сравнения относительного экономического роста нескольких стран, она не является подходящей моделью прогноза. Это связано с тем, что на оба показателя может независимо влиять большое количество различных факторов. Отношения в странах, которые регулярно выходят за наблюдаемые «нормальные» пределы модели, демонстрируют, насколько несвязанными могут стать эти два показателя для некоторых стран. Потребление цемента в Сингапуре изменилось лишь на небольшую величину в период с 2005 по 2007 год, однако ВВП за тот же период увеличился на 7813 долларов США на душу населения. Точно так же потребление цемента в ОАЭ упало на 767 кг на душу населения в период с 2010 по 2012 год, а ВВП увеличился с 34 049 долларов США на душу населения до 49 800 долларов США на душу населения.

Коэффициент корреляции Пирсона (r) является статистической мерой взаимозависимости двух переменных. На рисунке 4 показаны значения r для взаимосвязи между ВВП и потреблением цемента в 18 странах в период с 2002 по 2012 год.Значение 0 указывает на отсутствие линейной зависимости между ними, тогда как 1 указывает на идеальную линейную зависимость (т. е. по мере увеличения ВВП растет и потребление цемента). Значение r, равное -1, предполагает полную отрицательную зависимость (т. е. по мере увеличения ВВП потребление цемента уменьшается).

Этот анализ показывает, что корреляция между двумя показателями значительно варьируется в зависимости от страны. ВВП и потребление цемента очень сильно коррелируют в Китае, описанном официальной статистикой, в то время как эти два показателя имеют сильную отрицательную связь в Соединенных Штатах.Ни в одной из оцениваемых стран ВВП не коррелировал с потреблением цемента. Однако корреляция была очень низкой, то есть относительно близкой к 0, в пяти из 18 исследованных стран. Это Испания, Катар, Япония, ОАЭ и Сингапур.

Положительная корреляция (r>0)

Если предположить, что китайская статистика неточна по причинам, описанным выше, средний мировой показатель ВВП и потребления цемента показывает самую высокую положительную корреляцию на уровне 0,968 и указывает на то, что общая глобальная тенденция направлена на увеличение потребления цемента, соответствующего увеличению ВВП.

Вьетнам: Потребление цемента во Вьетнаме неизменно близко к среднемировому уровню, увеличившись с 259 кг на душу населения в 2002 г. до 560 кг на душу населения в 2012 г. ВВП страны также значительно увеличился за тот же период времени, по сравнению с 477 долл. США. на душу населения до 1755 долларов США на душу населения в 2012 г.

За последние несколько лет в проекты инфраструктуры и урбанизации были вложены огромные суммы государственного капитала, при этом вклад строительной отрасли в ВВП неуклонно растет по мере реализации этих проектов.²⁸ Приблизительно 9–10% ВВП было связано с инвестициями в санитарию, транспорт и телекоммуникации в период с 2004 по 2006 год. Ряд микроэкономических исследований подтвердил связь между вьетнамским ростом и сокращением бедности и этими инфраструктурными инвестициями, ²⁹ эффективно объясняющими сильная положительная корреляция, которую мы наблюдали между ВВП и потреблением на протяжении десятилетия.

Бразилия: Спрос на цемент в Бразилии в период с 2002 по 2012 год имел тенденцию к общему увеличению, хотя и не поспевает за средней скоростью роста по сравнению со среднемировым показателем.И наоборот, ВВП отслеживался быстрее, чем глобальная тенденция, начиная с 2002 г. на уровне чуть менее 50% от среднего мирового показателя и увеличившись до 118% к 2012 г.

Высокая корреляция между ВВП и потреблением цемента в Бразилии, возможно, удивительна, учитывая разницу в темпах роста двух параметров, рассматриваемых в этом исследовании. Экономика Бразилии, ориентированная на потребителя, поддерживала относительно высокий уровень ВВП на протяжении всего финансового кризиса ³¹, но в настоящее время признано, что рост ВВП замедляется.³⁰ Несмотря на это, доход на душу населения продолжает расти, согласно оценкам, с 2004 года 40 миллионов граждан поднялись над чертой бедности. ³⁰

Спрос на цемент в стране вырос в период с 2007 по 2012 год с 237 кг на душу населения до 353 кг на душу населения. Этому способствовали успешная заявка на проведение чемпионата мира по футболу FIFA 2014 в 2007 году, программа ускорения роста (PAC), инициированная в том же году, и подготовка к летним Олимпийским играм 2016 года. ³²

Наблюдаемая высокая корреляция между потреблением цемента и ВВП объясняется тем, что оба показателя увеличиваются. Однако вопрос о том, связаны ли они на самом деле, является спорным. Спрос на цемент и бразильская экономика, возможно, почти полностью не связаны с ВВП, поскольку рынок потребительских товаров не оказывает прямого влияния на строительную отрасль. Расходы на инфраструктуру составили всего 1% ВВП Бразилии в 2012 г. ³³ Таким образом, сильная положительная корреляция между двумя показателями, наблюдаемая в Бразилии с 2002 г., может быть случайной. Большие экономические успехи, достигнутые страной в течение последнего столетия30, по-видимому, не оказали прямого влияния на потребление цемента, хотя они, несомненно, повлияли на доступный капитал для инвестиций в инфраструктуру и на участие в крупных спортивных мероприятиях, которые состоялись в последнее время.

Ожидается, что строительная отрасль Бразилии будет расти в геометрической прогрессии в течение следующих пяти лет, что сделает ее одним из самых быстрорастущих строительных рынков в мире. Учитывая, что рост ВВП уже замедляется и ожидается его дальнейшее снижение, ³⁰ кажется маловероятным, что аналогичный этому анализ через пять или десять лет обнаружит столь сильную корреляцию этих двух показателей.

Это подчеркивает основную проблему использования графика в качестве инструмента прогнозирования. Он не может учитывать внешние факторы, которые независимо влияют на одну или обе переменные.

Саудовская Аравия: Впечатляющий рост ВВП на душу населения в Саудовской Аравии означает, что в 2012 году он превысил средний мировой показатель на 200%. В 2002 году его ВВП на душу населения составлял всего 130% от среднего мирового показателя. Рост потребления цемента отражает эту тенденцию, постоянно превышая среднемировые показатели.

Экономика Саудовской Аравии специализируется на том, что нефтяной сектор предлагает большую степень гибкости, которая недоступна другим странам. ³⁴ Здесь также развит туристический сектор, поддерживаемый двумя самыми популярными религиозными святынями в мире, Меккой и Мединой.³⁴ Рост рынка экспорта нефти в 2011 году означает, что значительная часть доходов от нефти была направлена на инвестиции во внутреннюю экономику, особенно в жилищное строительство, инфраструктуру и проекты экономической поддержки, которые, в свою очередь, стимулировали спрос на цемент в Королевстве. ³⁵

Отрицательно коррелирует (r

<0)

Соединенные Штаты: Связь между ВВП и потреблением цемента имеет сильную отрицательную корреляцию в экономике США (-0,706). ВВП на душу населения в 2012 году был выше, чем в 2002 году, в то время как потребление цемента с 2006 года неуклонно снижалось.

Экономика страны основана на сервисной модели, а это значит, что финансовый кризис оказал существенное влияние. ВВП на душу населения оставался неизменным в период с 2007 по 2010 год, но потребление цемента резко упало с 2008 года. В ответ на финансовый кризис в строительной отрасли США произошел резкий спад. Результатом стало сокращение как жилых, так и коммерческих проектов, государственных бюджетов и общественных работ. Спрос на цемент упал в ответ на это, при этом общие показатели потребления в 2010 году почти вдвое снизились по сравнению с пятью годами ранее.³⁸

Ассоциация портландцемента (PCA) предполагает, что 2013 год был первым годом, когда эта тенденция начала меняться, и ожидается, что реальные расходы на строительство в 2014 году еще больше увеличатся. PCA также прогнозирует, что потребление цемента вернется к докризисному уровню к 2018 году, ³⁶ позволяет предположить, что корреляция между двумя показателями не будет оставаться столь явно отрицательной в будущих анализах.

Южная Корея: Отрицательная корреляция между двумя показателями не так преобладает в Южной Корее, как в США при -0.344, что, вероятно, является результатом спада в строительной отрасли с 2008 года. Действительно, потребление цемента в Южной Корее было особенно изменчивым. В 2002 году этот показатель был значительно выше отметки в 1000 кг на душу населения и составлял 1216 кг на душу населения, но к 2005 году упал до 955 кг на душу населения. 950 кг на душу населения ознаменовали начало снижения. ВВП также значительно снизился в период с 2010 по 2012 год, но, в отличие от потребления цемента, до этого момента неуклонно рос.

С 2008 года строительная отрасль в Южной Корее испытывает трудности, отчасти из-за плохих продаж недвижимости и все более жестких условий кредитования. ³⁹ Этот спад был определен как особая проблема для роста отрасли, и аналитики надеются, что Зимние Олимпийские игры 2018 года компенсируют эту тенденцию. ⁴¹

В Южной Корее действует рыночная экономика, темпы роста которой ограничены трудовым законодательством и быстро стареющим населением. С сильным акцентом на экспорт (на его долю приходится почти половина ВВП страны) Южная Корея сильно пострадала от мирового финансового кризиса, но восстановилась в течение нескольких лет.⁴²

Тогда легко понять, почему ВВП и потребление цемента имеют такую низкую корреляцию в этом примере. Строительная отрасль находится в затруднительном положении, а экономика зависит от экспорта и, следовательно, от рыночных тенденций в других странах.

Однако корреляция между ними может недолго оставаться отрицательной. Ожидается, что Соглашение о свободной торговле между США и Кореей от 2011 г. увеличит стоимость экспортного рынка на миллиарды долларов в годовом исчислении, а Зимние Олимпийские игры 2018 г. призваны возродить строительную отрасль. это исследование, вероятно, обнаружит, что увеличение обоих показателей соответствует более положительной корреляции; является ли эта корреляция результатом прямой связи между двумя показателями или нет.

Испания: Корреляция между ВВП и потреблением цемента в Испании, хотя и отрицательная, но очень слабая и составляет всего -0,143. Это не является непредсказуемым, учитывая огромные изменения, которые произошли в стране после краха 2007 года. Анализ ВВП и потребления цемента 10 лет назад, вероятно, обнаружил бы очень сильную корреляцию между этими двумя факторами. Строительная отрасль и экономика Испании переживали бум до 2007 года. Строительная отрасль быстро росла с 1999 года, зафиксировав рост спроса на 11% в 20005 году5 и еще на 5%.на 1% в 2001 году. Этот рост был устойчивым и способствовал годовому увеличению спроса на цемент, который достиг пика в 1300 кг на душу населения в 2007 году, что поставило Испанию среди невероятных современников, таких как Южная Корея и Саудовская Аравия, на некоторых более ранних графиках потребления. ВВП тоже быстро рос за это время, почти удвоившись в период с 2002 по 2007 год.

Трудный 2009 год ознаменовался существенным сокращением строительной отрасли: общее количество проектов жилищного строительства сократилось на 60% по сравнению с уровнем 2008 года.В результате потребление цемента снизилось на 32,9% в 2009 г., а в 2010 г. – еще на 15,2%.

ВВП Испании следовал аналогичной тенденции, почти удвоившись в период с 2002 по 2007 год, прежде чем начал снижаться. Тем не менее, экспорт оставался относительно устойчивым на протяжении всего этого времени, а смешанная экономика страны означала, что снижение ВВП было не столь заметным, как снижение потребления цемента. ⁴² Это, несомненно, способствует диссоциации между параметрами.

Не похоже, чтобы эти два показателя коррелировали (положительно или отрицательно) в ближайшем будущем. Чиновники прогнозируют продолжение спада в строительной отрасли и отмечают дальнейшее снижение потребления цемента на душу населения в 2013 году2, тогда как в том же году был зафиксирован скромный экономический рост. ⁴²

Значение графиков как инструмент прогноза

Корреляция между ВВП и потреблением цемента в разных странах и в разные годы показывает, что оба показателя подвержены влиянию внешних факторов, которые сами по себе подвержены колебаниям.

ВВП, как рыночная стоимость товаров и услуг, может сильно зависеть от таких факторов, как война, доходы от нефти и другой экспорт. Напротив, потребление цемента отражает спрос на жилье, инфраструктуру и связано с уровнем урбанизации страны. Это обусловлено государственными инвестициями, заявками на проведение спортивных мероприятий и крупномасштабными проектами частного сектора в некоторых странах, например, в Саудовской Аравии, ОАЭ и Катаре.

Понятно, что ВВП на душу населения и потребление цемента на душу населения не работают только в сочетании друг с другом.Во многих случаях рост ВВП способствует увеличению потребления цемента; об этом свидетельствует сильная корреляция между ними в развивающихся странах, таких как Китай и Вьетнам. Инфраструктурные инвестиции в этих странах необходимы для ускорения индустриализации, что, в свою очередь, увеличивает ВВП и способствует прогрессу. Аналогичным образом, бывают ситуации, когда рост ВВП не влияет на потребление, например, тенденции в нефтяном секторе оказывают огромное влияние на ВВП Саудовской Аравии, но мало или совсем не влияют на потребление цемента.

Это разъединение под давлением внешних факторов, возможно, делает использование взаимосвязи между двумя показателями неподходящим инструментом прогнозирования, особенно потому, что их корреляция различается между странами. Текущий анализ показывает, что даже внутри отдельных стран коэффициент корреляции может меняться со временем. Однако средние глобальные значения очень сильно коррелированы, и, при условии, что график не используется для прогнозирования вероятных тенденций ни в том, ни в другом, он по-прежнему предлагает хорошее сравнение относительного экономического положения между различными странами в заданный момент времени.

Ссылки

Адиса, О.К., 2013 . Экономия RHA (золы рисовой шелухи) в бетоне для строительства недорогого жилья в Нигерии. Журнал гражданского строительства и архитектуры, 7 (11). стр. 1464-1470

Сводные исследования, 2012 . Экспорт цемента из Южной Кореи достиг рекордного уровня. Агрегированные исследования [онлайн].

Айжазира Капитал, 2011 . Саудовский цементный сектор. [Онлайн].

Аль-Ансай, М. 2010 . Инновационные решения для серы в Катаре.Катарский исследовательский и технологический центр Shell. [онлайн].

Аль-Хамиди А., 2009 . Мировой финансовый кризис: влияние на Саудовскую Аравию. Валютное агентство Саудовской Аравии [онлайн].

АПХМА, 2012 . Пакистанский цементный сектор. [онлайн].

Армстронг, Т. 2013 . Обзор мировых тенденций в секторе цемента для плит. [онлайн]

Британская геологическая служба, 2008 г. . Цемент. Информационный бюллетень по планированию добычи полезных ископаемых. [онлайн].

Управление строительства и строительства, 2012 .Проекты государственного сектора для поддержания спроса на строительство в 2012 году. [онлайн].

СЕМБЮРО, 1999 . «Наилучшие доступные технологии» для цементной промышленности. [Онлайн].

СЕМБЮРО, 2000 . Отчет о деятельности за 2000 год. CEMBUEARU [онлайн].

СЕМБЮРО, 2008 . Отчет о деятельности за 2008 г. [онлайн].

СЕМБЮРО, 2009 . Отчет о деятельности за 2009 г. [онлайн].

СЕМБЮРО, 2010 . Отчет о деятельности за 2000 г. [онлайн]

Цемнет, 2013 .Спрос на цемент в Бельгии падает на 2,2%, а импорт растет. [Онлайн].

Цемнет, 2013 . Цементные разработки СНГ. [онлайн]

Чен В. 2006 . Гидратация шлакоцемента: теория, моделирование и применение. [Онлайн].

Коллантайн К., 2008 . Мысли о уличной трассе Формулы-1 в Сингапуре (предварительный просмотр Гран-при Сингапура 2008 г.). F1 Fanatic, Блог Формулы 1. [онлайн].

Отчет о секторе капитала коммерческого банка, 2012 г. . Строительный сектор Катара.[онлайн]

DesignBoom, 2008 . Будущее в Дубии. [онлайн].

Торгово-промышленная палата Дубая, 2014 . Вклад строительного сектора в ВВП ОАЭ в 2015 году составит 11,1%. [Онлайн].

Институт энергоресурсов, 2007 . Справочник данных и ежегодник Teri Energy, 2005/06. TERI Press, Нью-Дели. [онлайн]

Сектор экономического развития, 2010 . Обзор расходов. [онлайн].

Отдел экономических исследований Отдел развития бизнеса, 2010 .Развитие рынка жилья и недвижимости – мировой опыт и варианты для Вьетнама. Международная конференция 2010. [онлайн].

Эдвардс П. , 2012 . Цемент в США. Журнал Global Cement [онлайн]

Эдвардс, П. 2012 . Катар ожидает массовый рост производства цемента. Журнал Global Cement [онлайн]

Эдвардс П., 2013 . Китай: Первый в цементе. Глобальный цементный журнал. [онлайн]

ЕСбизнес, 2014 . Испания: обзор страны.EUbusiness [онлайн]

Европейская организация товарных бетонов (ERMCO), 2013 . Статистика производства товарного бетона за 2012 год. [Онлайн].

Фицем, 2013 . Статистический обзор. Фицем [онлайн].

Гейльдберг, 2012 . Годовой отчет. Хайльдберг [онлайн].

Holcim, 2013 . Holcim Romania: Профессиональная компетентность [онлайн].

Index Mundi, без даты. ВВП Катара. [онлайн].Офицеры, 2010 .Потребление цемента в Испании упадет на 15% в 2010 г. [онлайн]

Ле-Хоай, Л., Дай Ли, Ю. и Йонг Ли, Дж. 2008 . Задержки и перерасход средств на крупных строительных проектах во Вьетнаме: сравнение с другими выбранными странами. Журнал гражданского строительства KSCE. 12(6). стр. 367-377 [онлайн].

Линн и Панхолия, 2008 . ОАЭ Цемент. Аль Мал Капитал. [онлайн].

Макардл М., 2014 . Чудо, стоящее за экономическим чудом Бразилии. Просмотр бумеранга [онлайн].

Мехта, Р. и Д’Суза, А., 2008 . Цемент, Годовой обзор. КРИСИЛ Исследования.

Министерство торговли и промышленности, 2008 г. . Пресс-релиз: Рост ВВП от умеренного до среднесрочного потенциала. [онлайн].

Министерство торговли и промышленности, 2009 г. . Пресс-релиз.

НЦБ, 2012 . Сравнительные затраты на электроэнергию и финансовая политика стимулирования роста стимулируют цементный сектор Саудовской Аравии. Обзор цементного сектора Саудовской Аравии. [онлайн].

Статистика Монако, 2012 г. . Валовый внутренний продукт. [онлайн].

Офицеры, 2014 . Падение государственных инвестиций снижает потребление цемента до уровня 50-летней давности. Офицеры [онлайн]

Оксфорд Бизнес Групп, 2011 . Экономическое обновление. Саудовская Аравия: экономическое развитие. Оксфордская бизнес-группа [онлайн].

Ассоциация портландцемента, 2013 г. . Потребление цемента в США в 2013 году достигнет почти 80 миллионов тонн.[онлайн]

Железнодорожная техника, 2013 . Downtown Line Stage 3, Сингапур. [онлайн].

Рапоза К., 2012 . Экономика Бразилии уже не та, что раньше. Форбс [онлайн].

Исследования и рынки, 2012 . Строительная отрасль ОАЭ, май 2012 г. [онлайн].

Шаллер С., 2008 . Программа ускорения роста Лулы: лучшее, что может купить правительство Бразилии? Совет по делам полушария. [онлайн].

SEMAPA, 2012 . Годовой отчет. [онлайн]

Сусило, Э., 2008 . Отчет по Сингапуру. 15-я конференция Aisia Construct. [онлайн].

Тиметрик, 2013 . Туристическое строительство в Южной Корее – основные тенденции и возможности на 2017 год. Timetric [онлайн].

Туан Ань Н. и Филони Э. 2007 . Тематические исследования и опыт: развивающаяся цементная промышленность Вьетнама. Отчеты о развивающихся рынках [онлайн].

USG, 2010 . Ежегодник полезных ископаемых 2008.

Предприятия Ближнего Востока, 2011 . Саудовская строительная промышленность. Ventures Middle East [онлайн].

Вика, 2013 . Годовой отчет [онлайн].

Всемирный банк . Данные о населении по всем странам и годам. [Онлайн].

(PDF) Анализ материальных потоков и расхода материалов в процессе производства цемента

Благодарности

Работа выполнена при финансовой поддержке Стратегического приоритета

Исследовательская программа – изменение климата: углеродный баланс и связанные с этим вопросы

Вопросы Китайской академии наук (Грант №.

XDA05010400), China Postdoctoral Science Foundation (№

2015T80125 и № 2014M550819) и National Natural

Science Foundation of China (№ 41501590). Авторы благодарят

анонимных рецензентов за их ценные комментарии и

предложения.

Приложение A. Дополнительные данные

Дополнительные данные, относящиеся к этой статье, можно найти по адресу http://

dx.doi.org/10.1016/j.jclepro.2015.08.054.

Ссылки

Andersen, J.П., Хайман Б., 2001. Модели потоков энергии и материалов для сталелитейной промышленности США. Энергия 26, 137e159.

Atmaca, A., Yumrutas¸, R., 2014. Термодинамический и эксэргоэкономический анализ цементного завода

: часть II eapplication. Преобразование энергии. Управление 79, 799e808.

Baeza-Brotons, F., Garc

es, P., Pay

a, J., Saval, J.M., 2014. Портландцементные системы с добавлением

золы осадка сточных вод. Применение в бетонах для изготовления блоков

. Дж. Чистый. Произв. 82, 112e124.

Бенхелал, Э., Захеди, Г., Шамсаи, Э., Бахадори, А., 2013 г. Глобальные стратегии и потенциальные возможности сокращения выбросов CO

в цементной промышленности. Дж. Чистый. Произв. 51, 142e161.

Браун, Х.Л., 1996. Энергетический анализ 108 промышленных процессов. The Fairmont Press,

Inc., Лилберн, Джорджия.

Брунке, Дж.-К., Блесл, М., 2014. Меры по энергосбережению в немецкой цементной

промышленности и их способность компенсировать рост затрат на производство энергии

.Дж. Чистый. Произв. 82, 94e111.

CCA, Цементная ассоциация Китая, 2012 г. Китайский цементный альманах 2011 г. China Building

Materials Press, Пекин, Китай.

Chen, W., Hong, J., Xu, C., 2014. Загрязнители, образующиеся при производстве цемента в Китае,

их воздействие и потенциал для улучшения состояния окружающей среды. Дж. Чистый. Произв.

http://dx.doi.org/10.1016/j.jclepro.2014. 1004.1048.

Эльчалакани, М., Али, Т., Абу-Айше, Э., 2014 г. Устойчивый бетон большого объема

GGBFS для строительства города Масдар в ОАЭ.Кейс Стад. Констр. Матер. 1, 10e24.

Гао Т., 2013 г. Потребление ресурсов и выбросы углекислого газа в процессе

производства цемента. Институт географических наук и природных ресурсов

Research, C.A.S. Университет Китайской академии наук, Пекин, Китай.

Гао, Т., Шен, Л., Шен, М., Чен, Ф., Лю, Л., Гао, Л., 2014. Анализ различий

выбросов углекислого газа при производстве цемента и их основных —

терминаторов.Дж. Чистый. Произв. http://dx.doi.org/10.1016/j.jclepro.2014.1011.1026.

Habert, G., Billard, C., Rossi, P., Chen, C., Roussel, N., 2010. Технология производства цемента

улучшение по сравнению с целями фактора 4. Цем. Конкр. Рез. 40, 820e826.

Хун, Г.-Б., Ма, К.-М., Чен, Х.-В., Чуанг, К.-Дж., Чанг, К.-Т., Су, Т.-Л., 2011. Энергетика

Анализ потоков в целлюлозно-бумажной промышленности. Энергия 36, 3063e3068.

Якобеску Р.И., Компури Д., Понтикес Ю., Сабан Р., Angelopoulos, G., 2011. Val-

Использование стального шлака электродуговой печи в качестве сырья для низкоэнергетических белитовых

цементов. Дж. Азар. Матер. 196, 287e294.

Исхак, С.А., Хашим, Х., 2014. Низкоуглеродные меры для цементного завода и обзор.

Дж. Чистый. Произв. http://dx.doi.org/10.1016/j.jclepro.2014.1011.1003.

Капур, А., ван Осс, Х.Г., Кеолеян, Г., Кеслер, С.Е., Кендалл, А., 2009. Современный цикл производства цемента

в США.Дж. Матер. Циклы управления отходами. 11, 155e165.

Карстенсен, К.Х., 2006 г. Производство цемента в вертикальных шахтных печах в Китае: статус

и возможности для улучшения. Отчет для Организации Объединенных Наций по промышленному развитию

, Вена, Австрия.

Ли, К., Не, З., Цуй, С., Гонг, X., Ван, З., Мэн, X., 2014a. Инвентаризация жизненного цикла

исследование производства цемента в Китае. Дж. Чистый. Произв. 72, 204e211.

Ли, Х., Сюй, В., Ян, С., Ву, Дж., 2014b. Приготовление портландцемента с фильтрующим раствором сахара

в качестве известкового сырья. Дж. Чистый. Произв. 66, 107e112.

Лоу, М.-С., 2005. Анализ потока материалов в бетоне в США. Massa-

Технологический институт Чусетса, Массачусетс, США

Madlool, N., Saidur, R., Hossain, M., Rahim, N., 2011. Критический обзор использования энергии

и экономии в цементной промышленности . Продлить. Поддерживать. Energy Rev. 15,

2042e2060.

Мадлул, Н., Саидур, Р., Рахим, Н., Камалисарвестани, М., 2013. Обзор мер по энергосбережению

в цементной промышленности. Продлить. Поддерживать. Энергия Откр. 19, 18e29.

MEPPRC, Министерство охраны окружающей среды Китайской Народной Республики,

2004. Стандарт выбросов загрязнителей воздуха для цементной промышленности. China Environment Press,

, Пекин, Китай.

Михаэлис, П., Джексон, Т. , 2000. Поток материалов и энергии через металлургический и сталелитейный секторы

Великобритании.Часть 1: 1954-1994 гг. Ресурс. Консерв. Переработка 29, 131e156.

Mikul

ci

c, H., Vujanovi

c, M., Dui

c, N., 2015. Повышение устойчивости производства цемента

c, деградация

и сжигание пылевидного угля в кальцинаторе цемента. Дж. Чистый. Произв. 88,

262e271.

NBSC, Национальное бюро статистики Китая, 2012 г. Статистический ежегодник Китая, 2011 г.

China Statistical Press, Пекин, Китай.

Oh, D.-Y., Noguchi, T., Kitagaki, R., Park, W.-J., 2014. CO

сокращение выбросов за счет повторного использования

отходов строительных материалов в японском цементе промышленность. Продлить. Поддерживать.

Energy Rev. 38, 796e810.

Озалп, Н., Хайман, Б., 2007 г. Распределение потребляемой энергии между конечными потребителями в

нефтяной и угольной промышленности США. Энергия 32, 1460e1470.

Пардо, Н., Мойя, Дж.А., Мерсье, А., 2011. Перспективы энергоэффективности и выбросов CO

в цементной промышленности ЕС. Энергия 36, 3244e3254.

Роскос, К., Кросс, Д., Берри, М., Стивенс, Дж., 2011. Идентификация и проверка

самоцементирующихся зольных вяжущих для «зеленого» бетона. В: Материалы конференции

World of Coal Ash (WOCA) 2011 г., 9–12 мая, Денвер, штат Колорадо, США.

Сакаи, К., 2009 г. На пути к экологической революции в бетонных технологиях.In:

Proceedings of the International fib Symposium. Бетон: 21st Century Su-

perhero. Лондон, Великобритания.

Шнайдер М., Ромер М., Чудин М., Болио Х., 2011 г. Устойчивое производство цемента в настоящем и будущем. Цем. Конкр. Рез. 41, 642e650.

Shu, X., Huang, B., 2014. Переработка отходов шинной резины в асфальт и портландцементный бетон

: обзор. Констр. Строить. Матер. 67, 217e224.

Смит Р., Керси Дж., Гриффитс П. J., 2002. Массовый баланс строительной отрасли:

Использование ресурсов, отходы и выбросы. Отчет Viridis VR4, Великобритания.

Согут, М., Октай, З., Хепбасли, А., 2009. Энергетическая и эксергетическая оценка процесса трасовой мельницы

на цементном заводе. Преобразование энергии. Управление 50, 2316e2323.

Sun, W.-q., Cai, J.-j., 2009. Материальный поток, поток энергии и сеть потока энергии в

Iron and Steel Enterprise. Интех. http://cdn.intechopen.com/pdfs-wm/37116.

pdf.

Tang, J.Q., 2010. Состояние технологии низкотемпературной когенерации в сухих вращающихся

цементных печах Китая. Китай Цем. 56е58.

Геологическая служба США, Геологическая служба США, 2014 г. Сводные данные о полезных ископаемых, 2013 г. http://

минералы.usgs.gov/minerals/pubs/mcs/.

Увасу, М., Хара, К., Ябар, Х., 2014. Мировое производство цемента и последствия для окружающей среды

. Окружающая среда. Дев. 10, 36е47.

Ван, М. , Ли, Х., Молбург, Дж., 2004. Распределение энергопотребления на нефтеперерабатывающих заводах

по нефтепродуктам.Междунар. J. Оценка жизненного цикла. 9, 34e44.

Вудворд, Р., Даффи, Н., 2011. Анализ потоков цемента и бетона в условиях быстро

развивающейся экономики: Ирландия на примере. Ресурс. Консерв. Переработка 55,

448e455.

Уоррелл, Э., Филипсен, Д., Эйнштейн, Д., Мартин, Н., 2000. Использование энергии и энергии

Интенсивность химической промышленности США. Lawrence Berkeley National Laboratory,

Berkeley, CA, U.S.A.

Worrell, E., Price, L., Martin, N., Hendriks, C., Meida, L.O., 2001. Выбросы двуокиси углерода

от мировой цементной промышленности 1. Annu. Преподобный Energy Environment. 26,

303e329.

Т. Гао и др. / Журнал чистого производства 112 (2016) 553e565 565

Энергопотребление самоуплотняющегося бетона при смешивании и его влияние на предел текучести, измеренный на заводе товарного бетона

Найти энергию, необходимую в процессе самоуплотняющегося бетона -уплотнение бетона на заводе товарного бетона и соотнесение результатов с пределом текучести бетона. Потребляемая мощность при смешивании бетона измеряется ваттметром, подключенным к источнику питания смесительного узла. Вискозиметр с коаксиальным цилиндром используется для измерения предела текучести бетона. Токоизмерительные клещи измеряют мощность, когда крыльчатка вращается внутри вискозиметра соосного цилиндра, заполненного бетоном. При вращении рабочего колеса в коаксиальном цилиндре, заполненном бетоном, мощность измеряется токоизмерительными клещами. Крутящий момент получается через отношение мощности, которое является важным фактором при определении предела текучести.Стоимость реометра настолько высока, что все строительные отрасли, научно-исследовательские институты и исследователи не могут измерить реологические параметры. В настоящее время все реометры автоматизированы; следовательно, стоимость очень высока. Подход Таттерсолла к требуемой мощности при смешивании бетона и расчете предела текучести снижает сложность определения реологических параметров.

1. Введение

Бетон – универсальный материал, широко используемый в строительной отрасли. В связи с развитием городов использование бетона значительно увеличилось за последние несколько лет.Характеристики бетона являются важным фактором для плавного завершения проекта. Стоимость производства бетона является важным фактором для всех производителей бетона. Оптимизация ресурсов — это лучший метод экономии, которого придерживается большинство производителей [1]. Энергетические исследования обычно проводятся во всех отраслях обрабатывающей промышленности для оптимизации использования ресурсов. Приоритет следует отдавать энергии, необходимой для смешивания бетона на заводе по производству товарного бетона (RMC), чтобы свести к минимуму потребление энергии при производстве бетона.Более того, развитие инфраструктуры привело к увеличению производства заводов RMC. Введение в бетон новых материалов может увеличить потребление энергии в процессе смешивания и повлиять на производительность в процессе заливки и перекачки бетона [2–4]. Следовательно, необходимо определить потребление энергии и предел текучести, необходимые для бетона в процессе смешивания, чтобы иметь правильное представление о следующих аспектах: как дозировка добавки используется для оптимизации энергии, необходимой в процессе смешивания, снижение предела текучести , оптимизация времени смешивания, характеристик текучести, предела текучести, получаемого при заливке бетона, а также досрочное завершение работ по укладке бетона. Кинематика перемешивания может быть хорошо понята с помощью мощности, необходимой для перемешивания бетона [5–7]. Основная цель состоит в том, чтобы найти влияние потребления энергии на предел текучести бетона во время перемешивания. Также было проведено испытание потока, чтобы определить влияние на потребление энергии и предел текучести. Кроме того, цель этого исследования состоит в том, чтобы найти причину увеличения энергопотребления и его влияние на предел текучести. Летучая зола и ГГБС (измельченный гранулированный доменный шлак) — это две добавки, используемые в разных пропорциях для расчета энергопотребления и предела текучести бетона.Предел текучести определяют с помощью коаксиального вискозиметра. Ньютоновские и неньютоновские жидкости используются для нахождения калибровочных констант K и G коаксиального вискозиметра. Определен предел текучести ( τ ₀ ) для различных марок бетона, таких как М25, М30 и М40 с различными соотношениями, и результаты находятся аналитически без использования автоматизированной системы в коаксиальном вискозиметре.

1.1. Роль кривой энергопотребления в производстве товарного бетона

Кривая энергопотребления, полученная в процессе смешивания, является единственным инструментом контроля однородности бетона в процессе производства.В товарном бетоне кривая потребляемой мощности играет жизненно важную роль, поскольку невозможно визуально наблюдать однородность бетона, когда перемешивание проводится в закрытой камере [8], как показано на рис. 1. В процессе перемешивания потребляемая мощность значение увеличивается из-за сопротивления крутящему моменту, вызванного материалом в смесительном барабане. Сопротивление крутящему моменту и потребляемая мощность будут изменяться при загрузке материала в барабан смесителя в процессе смешивания [9]. Мониторинг потребляемой мощности при перемешивании является простым методом проверки однородности бетона [10].Добавление нового материала может изменить время перемешивания и замедлить достижение однородности бетона. Таким образом, изучение характеристик материалов позволит получить четкое представление о кривых потребления энергии, добиться однородности и зафиксировать время смешивания различных типов бетона.

1.2. Потребление энергии при смешивании бетона в этом проекте

Бетон производится на заводе RMC разными способами, такими как тщательно перемешанный и частично перемешанный бетон, то есть полностью перемешанный бетон перевозится на заводе, и другими способами. В некоторых случаях частичное смешивание производится на заводе, а оставшаяся часть перерабатывается в автобетоносмесителе.В некоторых других случаях, таких как бетонный раствор, только дозирование выполняется на заводе, а все смешивание выполняется в автобетоносмесителе [11]. В этом исследовании все смешивание обрабатывается на заводе, для чего потребляемая мощность во время смешивания определяется с помощью ваттметра. Бетонные ингредиенты загружаются с верхней части барабана конвейером (рис. 2). Цемент, зола-унос, ГГБС и заполнители хранятся в бункере, и по трубопроводу материалы выгружаются в барабан смесителя.По мере загрузки ингредиентов смеситель для преодоления крутящего момента потребляет избыточную мощность, что приводит к увеличению потребляемой мощности. Вначале начинается загрузка крупным заполнителем, затем мелким заполнителем и минеральными добавками, наконец, цементом с водой и суперпластификатором [12, 13]. Каждый ингредиент загружается с интервалом от 5 до 10 секунд, что приводит к постепенному увеличению потребляемой мощности [13]. Первоначально потребление энергии будет на более низком уровне и достигнет пика, когда произойдет окончательный сброс воды.Эти капли воды образуют жидкий мостик между частицами и потребляют на этом этапе пиковую мощность [14]. Затем пиковое значение постепенно снижается при достижении однородности [15]. Потребляемая мощность будет варьироваться для разных типов бетона, которые состоят из разных составов. Это изменение потребляемой мощности зависит от характеристик материала, таких как форма, размер, влажность и абсорбция. Все эти факторы определяют, как материалы реагируют в барабане во время операции смешивания.Это зависит от притяжения и отталкивания между частицами. Изменения времени смешивания также увеличивают потребление энергии. После изобретения высокопрочного бетона и самоуплотняющегося бетона продолжительность перемешивания всех бетонных смесей была изменена для достижения однородности [8, 12, 13, 16]. Некоторые добавки ускоряют перемешивание бетона и вызывают минимальные энергозатраты по сравнению с бетоном, состоящим из грубозернистых минеральных добавок [17]. По этой причине изучению характеристик нового материала в обрабатывающей промышленности придается первостепенное значение.Введение новых добавок делает бетонную смесь более долговечной, что позволяет устранить неоднородность в бетонной смеси [18-20].

2. Свойства свежего бетона

Удобоукладываемость является важным фактором, который необходимо поддерживать на протяжении всего процесса укладки бетона. ACI определяет удобоукладываемость как простоту использования, так что его можно легко смешивать, размещать, консолидировать и доводить до однородного состояния. Свойства текучести бетона играют еще одну важную роль в производстве бетона, например, в установках RMC. Бетон закачивается прямо в конструкцию из транзитного смесителя. Конструкция, построенная с помощью этих материалов, играет жизненно важную роль в обеспечении безопасности и долговечности. Характеристики текучести бетона называются реологией бетона [21]. Свежий бетон может придать смеси любую желаемую форму. Затвердевший бетон должен соответствовать стандартам по форме, гладкости, прочности, долговечности, усадке и ползучести, а стоимость должна быть как можно ниже [22]. Благодаря реологии бетона форма и размер здания являются соответствующими, а бетонная смесь может быть пропущена через опалубку для достижения необходимого размера.Хорошая текучесть бетона позволяет лучше завершить опалубку без сот и пор [23]. В последние дни перекачка бетона требует отличной удобоукладываемости и текучести. Бетон будет распространяться по структурным формам, чтобы выполнить необходимую форму и размер конструкции. Следовательно, реологии придается первостепенное значение в текущем сценарии [24]. Реология бетона в основном определяется двумя параметрами: пределом текучести и пластической вязкостью. В целом, эти два параметра дают четкое представление о характеристиках текучести свежего бетона.Следовательно, реология — это научный способ измерения удобоукладываемости бетона [21].

2.1. Потребность в реологических исследованиях

Течение вещества и деформация частиц называются реологией, которая занимается взаимосвязью между напряжением, деформацией, скоростью деформации и временем [21, 23]. Реология бетона играла жизненно важную роль в последние десятилетия и возросла с появлением самоуплотняющегося бетона (SCC) и бетона RMC. В SCC и RMC характеристики потока важны для легкой подачи бетона.Текучесть бетона в основном зависит от эффективного содержания воды. Это разница между общим количеством воды, необходимой для смешивания бетона, и водой, поглощенной заполнителем [13]. В последнее время производство СУБ увеличилось в районах с большим скоплением арматуры, где свойство текучести в значительной степени сконцентрировано для отделки опалубки. Реология бетона привлекла внимание, поскольку она сильно влияет на затвердевшее состояние бетона [13, 21]. После схватывания цементный бетон приобретает прочность и жесткость и может выдерживать нагрузку без поддержки.Это включает в себя твердое поведение, объясняемое моделью Бингама, как показано на рисунке 3. Уравнение модели Бингема задается следующим образом: μ = пластическая вязкость, γ ̇ = скорость сдвига и τ ₀ = предел текучести.

Это простое уравнение используется для определения реологических характеристик бетона. Бетон — это неньютоновская жидкость, поведение которой можно непосредственно измерить с помощью этого простого уравнения.В уравнении Бингама напряжение сдвига и скорость сдвига представляют собой прямую линию, где предел текучести ( τ ₀) является точкой пересечения на оси x , а наклон представляет собой пластическую вязкость ( μ ). Для сложного поведения, например, для специального бетона, используется уравнение Гершеля и Балкли. Существуют различные эмпирические модели, используемые для подгонки измерения кривой потока. (i) модель степенного закона, (ii) модель Бингама, (iii) модель Гершеля-Балкли и (iv) модель Кэссона. Модель степенного закона выражается как t = k γ , где k — коэффициент согласованности.Значение 91 615 k 91 616 получается построением логарифмического графика между 91 615 t 91 616 и 91 615 γ 91 616 [25]. Модель Бингама и модель Гершеля–Балкли широко используются для определения реологических параметров [26, 27]. В модели Herschel-Bulkley τ = τ ₀ + Kγ ^N, где параметры τ ₀ и K соответствуют предел текучести и консистенция соответственно, а n — это индекс мощности, введенный для поведения утончения при сдвиге, где он меньше 1 для поведения утончения при сдвиге и больше 1 для поведения утолщения при сдвиге.Когда индекс n равен 1, модель Гершеля-Балкли приводит к модели Бингама, где k представляет пластическую вязкость. Здесь для определения реологических параметров используется нелинейный регрессионный анализ [28, 29]. Еще одним уравнением, подобным модели Бингама, является модель Кэссона. Оно очень похоже на уравнение Бингама, возведенное в степень 0,5. По сравнению с моделью Бингама она подходит для других материалов и дает лучшие результаты [30]. Уравнение кассона дается τ ^1/2 = + μ ^1/2 Γ̇ 9 1/2 , где T -Shear issear, τ ₀ µ – пластическая вязкость и γ ̇ – скорость сдвига.
2.2. Сравнение модели Бингама и уравнения мощности
Было установлено, что свежий бетон, строительный раствор и цементное тесто тесно связаны с моделью Бингама. Уравнение Бингама представляет собой зависимость между приложенным напряжением ( τ ) и полученной деформацией ( γ̇ ), которая очень близка к линейной и всегда имеет положительную точку пересечения на оси напряжения. Уравнение модели Бингама: t = τ ₀ + μ γ̇ [24]. Течение бетона очень сложно измерить пределом текучести и пластической вязкостью. Согласно Метцнеру-Отто, мощность, необходимая коаксиальному вискозиметру во время перемешивания, с использованием известных свойств жидкости дает значение предела текучести и пластической вязкости. Здесь уравнение мощности связано с уравнением Бингама для определения предела текучести и пластической вязкости. Уравнение мощности T = + h N аналогично уравнению Бингама t = τ ₀ + μ 16 1 γ̇Значения «» и « h » из уравнения мощности аналогичны значениям « τ ₀» и « μ » из уравнения Бингама. Следовательно, при определении предела текучести и пластической вязкости возникает меньше сложностей путем сравнения уравнения Бингама с уравнением мощности.
2.3. Бетонные реометры
Существуют различные типы бетонных реометров, доступных для реологических исследований, которые используются во всем мире. (i) Вискозиметр BML [23, 31] (ii) Реометр с параллельными пластинами BTRHEOM [23, 32, 33] )Коаксиальный реометр CEMAGREF-IMG [34](iv)Реометр IBB [23](v)Двухточечный прибор для определения обрабатываемости [35]
Для этого исследования используется двухточечный прибор для определения обрабатываемости и обновленная версия реометра разработан Таттерсоллом и Блумером [35]. Он разработан для бетона со значением осадки более 100. Имеются две системы рабочих колес: винтовая и H -образная. Винтовая крыльчатка используется в бетоне для диапазонов удобоукладываемости от средней до высокой. В этом исследовании крыльчатка H более эффективна для рабочего диапазона от низкого до среднего. Течение бетона слишком сложно для измерения предела текучести. Здесь крутящий момент рассчитывается из уравнения мощности. Связь между крутящим моментом и скоростью определяется уравнением мощности Тл = + ч Н.Затем измеренные данные наносятся на график в зависимости от скорости, чтобы получить реологические параметры.
3. Методология
Завод RMC производит различные марки СУБ. В этом исследовании измеряется потребление энергии различных бетонных смесей во время смешивания. К смесителю подключен ваттметр на 100 ампер. Значение мощности записывается каждую секунду. Полученная общая потребляемая мощность связана с пределом текучести бетона. Реологические параметры могут быть измерены с помощью реометра и должны быть простыми, прочными и подходящими для различных условий.Здесь используются разные марки бетона M25, M30 и M40, а для определения предела текучести используется коаксиальный цилиндрический вискозиметр. Принимаются следующие шаги, как показано на рисунке 4. Блок-схема представляет собой метод определения предела текучести бетона и потребляемой мощности во время смешивания.

4. Вискозиметр с коаксиальным цилиндром
В этом исследовании для измерения предела текучести бетона используется двухточечный прибор Таттерсолла.Было предпринято несколько попыток в коаксиальном вискозиметре определить характеристики потока, измерение удобоукладываемости и потребляемую мощность при смешивании свежего бетона [21]. Измерение мощности определяет эволюцию перемешивания бетона. Вискозиметр состоит из цилиндрического барабана объемом 25 л. Этот барабан работает с возможностью выбора передачи. Прилагаемый крюк заставляет барабан вращаться с разной скоростью: 0,06 об/с, 0,43 об/с, 0,608 об/с, 1,09 об/с и 1,43 об/с. Потребляемая электрическая мощность измеряется токоизмерительными клещами (электрическим прибором). Он измеряет мощность в двух состояниях, т.е. когда бочка заполнена бетоном и пуста, как P ₂ и P ₁ соответственно. Разница между этими двумя мощностями P ₁ и P ₂, деленная на скорость, даст крутящий момент [22]. Рабочее колесо установлено над цилиндром. Контролируемый материал удерживается внутри цилиндра и приводится во вращение рабочее колесо, при этом измеряется потребляемая мощность.Этот тип используется из-за простоты измерения крутящего момента и его надежности. Токоизмерительные клещи установлены на входной линии коаксиального цилиндрического вискозиметра и измеряют напряжение ( В ) и силу тока ( I ). Мощность ( P ) рассчитывается как P = VI .
4.1. Калибровка коаксиального вискозиметра
Коаксиальный вискозиметр калибруется для уменьшения эмпиризма и получения значения, не зависящего от метода измерения [21, 36]. Калибровка выполняется с помощью ньютоновских и неньютоновских жидкостей, вязкость которых определяется коммерчески используемым вискозиметром, называемым вискозиметром из красного дерева. Экспериментальное исследование проводится по определению вязкости ньютоновской и неньютоновской жидкости и, следовательно, используется для калибровки коаксиального вискозиметра для определения калибровочной константы K и G . Для ньютоновской жидкости используется тяжелое трансмиссионное масло, а для неньютоновской — буровой раствор.Вязкость трансмиссионного масла выше, чем вязкость бурового раствора. При калибровке необходимо уравнять вязкость ньютоновской и неньютоновской жидкости путем разбавления дизельным топливом. Так, трансмиссионное масло разбавляют дизельным топливом, чтобы оно соответствовало вязкости бурового раствора. Следовательно, крыльчатка, вращающаяся со скоростью N в ньютоновском материале, будет эквивалентна вязкости неньютоновской жидкости. (i) Вязкость ньютоновской жидкости получается как 1253 сСт (сСт) (таблица 1)( ii) Вязкость неньютоновской жидкости равна 35. 11 сСт (таблица 2)
(CST)7
Сер. Температура Время для 50118
1 34 466 2.7 2000 1253.90 1253.90
* / — B / T (Гентайстокс).Для любого значения A  = 2,7 и B = 2000. Следовательно, вязкость ньютоновской жидкости = 1253 сантистокс (сСт).
* T — B /15 T , где T = Время для 50 куб. в секундах и A  и B = изменяющиеся во времени константы вискозиметра красного дерева. Если t = 40 до 80 сек, A  = 0,264 и B = 190. Если t = 85 до 200 сек,
47 и
B = 65. Следовательно, вязкость = 0,247 × 146–65/146 = 1258,2–2000/466 = 35,11 сСт.
(CST)
Сер. Температура Время для 50118
1 34 144 0. 247 65 65 35.11

Из таблиц 1 и 2 видно, что вязкость ньютоновской жидкости не соответствует вязкости неньютоновской жидкости. Следовательно, тяжелое трансмиссионное масло разбавляют дизельным топливом, чтобы обеспечить соответствие вязкости трансмиссионного масла буровому раствору [21]. Несколько комбинаций дизельного топлива и трансмиссионного масла используются для согласования вязкости с буровым раствором. Наконец, сочетание 100 мл трансмиссионного масла с 50 мл дизельного топлива соответствует вязкости бурового раствора, как показано в таблице 3.
Сер. Температура Количество (мл) Время 50118
17 V (CST) 7
Heavy Gear Oil Diesel
1 34 20 200 30 0.247 65 5.243
2 39 40 200 9 65 60117 65
3 9 34 9 200 36 0.247 65 7.086
4 3 100 50117 0.247 65
5 39117 5 34 100 50 144 0. 4.2. Вискозиметр Редвуда
Вискозиметр Редвуда широко используется для определения вязкости жидкости. Он состоит из капилляра диаметром 3,5 мм, длиной 5 мм и чашки с указкой. Постоянный напор масла и агатовой струи закрывается с помощью шарика. Шарик поднимают, чтобы обеспечить поток масла, и масло собирается с помощью контейнера.Измеряется расход масла в контейнере. Рубашка предназначена для поддержания постоянной температуры масла и снабжена электрическим подогревом. Равномерный уровень температуры поддерживается вращением мешалки. Проволочная мешалка также предназначена для оценки проб масла. Вязкость тяжелого трансмиссионного масла и бурового раствора определяется с помощью вискозиметра из красного дерева и указана в таблицах 1 и 2.
4.3. Метод испытания вискозиметра Редвуда
Трансмиссионное масло заливается в вертикальную камеру вискозиметра Редвуда для определения его вязкости.Цилиндр покрыт баней с постоянной температурой и капиллярной трубкой. Вязкость трансмиссионного масла измеряют, сняв пробку с трубки. Теперь измеряется секунда Сейболта, т. е. время, необходимое для того, чтобы 60 мл масла стекали на дно контейнера.
4.4. Определение константы калибровки (
K и G ) с использованием неньютоновской жидкости и ньютоновской жидкости
Калибровочные константы K и G определяются с использованием неньютоновской и ньютоновской жидкостей.График построен между крутящим моментом и скоростью, и связь между ними объясняется уравнением T = + h N. склон. Это похоже на уравнение модели Бингама, t = τ ₀ + μ γ̇ . При сравнении обоих уравнений оказывается, что «» и « h » являются мерой « τ ₀» и « μ » соответственно, где τ ₀ — предел текучести и μ — пластическая вязкость [21, 24, 26].Calibration Contance K для различных скоростей наконец-то определяется с помощью соотношения, η App = ( τ ₀/ K × N ) + μ , где η приложение является очевидной вязкостью неньютоновской жидкости, равной 35,11 сСт. Константа G определяется с помощью ньютоновской жидкости по формуле G = ( T / N ∗ η ). Потребляемая мощность P 1 и P 2 показана на рисунке 5.График, построенный между крутящим моментом и скоростью для неньютоновской жидкости, получен для определения значения «» и « ч », которые дают значение τ ₀ = 73,793 и μ = −27,884, как показано на рисунке. на рис. 6. Калибровочные константы K и G , полученные для различных скоростей, приведены в табл. 4 [21, 24].

η )7
9
Сер. скорость крутящий момент η K 15 г * η )
1 0.06 29.16 29.16 35.11 19.52 13.8 9
2 0. 43 7451 9 35.11 2.72 49
3 32.87 35.11 1.92 1.53
4 1.09 51.27 51.27 35.11 1.07 1.3
5 1.41 52.98 35,11 0,82 1,07
4,5104 Испытание с помощью вискозиметра с коаксиальным цилиндром
Бетон вводится в барабан коаксиального вискозиметра для определения предела текучести. Устройство крюка контролирует скорость и может регулироваться для различных скоростей [36]. Рассчитывается потребление электроэнергии P ₁ и P ₂. Разность между этими двумя мощностями ( P ₁ – P ₂ ) = P , деленная на скорость, N , дает значение крутящего момента, а T , в произвольной единице. Рассчитанные данные записываются, и строится график зависимости крутящего момента от скорости. Наилучшее соответствие получается с помощью линейной регрессии [21, 22]. Линейная кривая представлена степенным уравнением T = + ч N [36–38]. «» и « ч » получаются из графика. Доходность бетона получается из постоянной K и г по формуле τ ₀ = ( K / G ) и μ = (1/ G ) ч [21].В коаксиальном вискозиметре используется бетонная смесь, осадка которой колеблется от 20 до 300 мм. Он показывает хороший результат для бетона нормальной марки, самоуплотняющегося бетона и бетона с высокими характеристиками, размер заполнителя которых колеблется от 12 мм до 25 мм [22]. Разрабатывается бетон различных марок, и необходимое количество цемента, мелкого заполнителя, крупного заполнителя и воды перемешивается с помощью смесителя барабанного типа равномерно. Тщательно перемешанный бетон подается в коаксиальный цилиндр, оснащенный рабочим колесом типа H . Количество бетона выбирают таким образом, чтобы рабочее колесо было погружено в бетон. Бетону дают отстояться в течение нескольких секунд перед снятием начальных показаний.
5. Состав компонентов бетона
Цемент марки OPC 53, соответствующий IS 269-2015 (Индийский стандарт), используется для производства бетона. Используются доступные на месте крупный заполнитель размером 12 мм, 20 мм и мелкий заполнитель, песок C (песок для дробления) и песок M (искусственный песок) в соответствии со стандартом IS 383-2016.В качестве минеральной добавки используется летучая зола, соответствующая IS 3812-2003, полученная с ТЭЦ Ennore в Индии. GGBS, соответствующий IS 16714:2018, используется в качестве еще одной минеральной добавки. Поликарбоксилатный эфир используется в качестве химической добавки, как показано на рисунках 7(a) и 7(b). Химический состав вяжущих указан в табл. 5. Физические свойства вяжущего, заполнителя и химической добавки приведены в табл. 6–8. В данном исследовании были испытаны бетонные смеси трех марок М25, М30 и М40. Бетон производится на заводе товарного бетона. Некоторое количество бетона берется с производственной единицы для измерения предела текучести. Все испытания проводятся на заводе по производству товарного бетона. Свежеприготовленный бетон сразу же собирается на выходе из смесителя для испытаний, прежде чем он будет выгружен в грузовик. Испытание на осадку также проводится для проверки реологических свойств бетона. Композиции Mix отображаются в таблице 9.
₂ O ₃₃₂ O₂ O —
9
Компоненты SiO ₂
7 CAO MgO Fe ₂ O ₃ ₃ ₃ ₃ S Na ₂ O TIO ₂ MN ₂ O ₃
Цемент 23. 2 6.3 63.3 63.5 1.5 3.1 1.7 — — —
Fly Fly 55.9 22,5 4,1 1.6 80118 80118 0,4 0.005 0,005 2.7 1.09 0,78 0,17
GGBS 33.59 13.7 39.4 5,9 6,1 0,5 0,32 0,005 — — 0,3 0,24
Свойства Цемент Зола-уноса GGBS
Удельный вес 3.1
Удельная площадь поверхности (метод Блейна) M ² / кг 330 450 390
Начальная настройка Время (мин) 28 240 80118
Окончательное время схватывания (мин) 450 600 570
нормальной консистенции 28% — —
Properties (C-песок) (M-песок) (м-песок) Gravill 1 (12 мм) Gravil 2 (20 мм)
Удельный гравитация 2. 6 2.73 2.67 2.67 2.6
0.9 1.5
3
3.26 3.5 5.5 7.1
91 834
Параметр РСЕ ОЯТ
Внешний вид Красновато-коричневая жидкость Красновато-коричневая жидкость
Химическое название Polycarboxylic Ether Сульфонированный нафталин формальдегид
Тип Задержка суперпластификатора Задержка суперпластификатора
pH 6 6
7
Относительная плотность 1.11 1.11 1.11
содержание хлорида (%) 0. 2 0.2
9011 7 80 9
Комплектующие S11 S12 S13 S21 S21 S23 S23 S31 S32 S33
M25 M25 M25 M30 110118 M30 M30 M40 M40 M40
цемент 200 9 200 9 370117 280118 280 410
Fly Ass 0 50117 0 70 50 0 72 100 0
GGB 150 150 0 140 200 9 9 9
Sand 1 458 438 432 444 320118 320118 399 350118 9
9
305 9 382 339 349 350 363
Graval 1 517 505 515 510 734 415 483 451 9
Gravil 2 665 649 661 652 400 580 644 647 629
Суперпластификатор 2. 8 2.4 2.4 2.6 2.52 2.8 2.4 2.76 2.88 2 9
Water 165 165 167 165 165 165 168 154 165 165
Соотношение 0.47 0.41 0.41 0.39 0.41 0.37 0.36 0.34 0,33
Плотность 2463 2451 2500 2484 2466 2263 2434 2478 2463
Производство
7
Количество 9 9 6 6 6 9 6 9 5 9 5 9 6 6 9 6
Размер пакета 1 1 1 1 1 1 1 9
15000 14778 14904 14904 14796 13578 13578 14868 14508 14778
Материалы в кг, плотность в кг. м ³ , количество в м ³ .
6. Определение реологических параметров бетона
Вискозиметр с коаксиальным цилиндром теперь заполнен бетоном, который собирается из выпускного отверстия смесителя RMC перед выгрузкой в грузовик. Потребляемая мощность для различных сортов, передаточного числа и скоростей показаны на рисунках 8–10. Полученный крутящий момент отображается в зависимости от скорости, как показано на рисунках 11–13. Из графика получаются «» и « ч », которые затем используются для расчета τ ₀ и мкс.

7. Кривая энергопотребления M25, M30 и M40
Кривая энергопотребления Показания ваттметра в процессе смешивания записывают, как показано на рис. 17. Позже записывают напряжение и ток, чтобы получить кривую потребляемой мощности. Кривая строится между временем и потребляемой мощностью. Также рассчитывалась общая мощность, потребляемая при смешивании.

8. Результат
(i) Предел текучести, измеренный в коаксиальном вискозиметре для M25, M30 и M40 для различных оборотов в секунду, указан в таблице 10. Соответствующее относительное напряжение и потребляемая мощность показаны в таблице 11. (ii) Из рисунка 18 видно, что увеличение значения осадки повысит предел текучести. Величина осадки очень высока для смесей S33, S23 и S21, что дает высокий предел текучести и высокое потребление энергии во время смешивания бетона. (iii) Из рисунка 18 видно, что предел текучести максимален при минимальном числе оборотов в секунду. , я.0,06 об/сек, и это дает пиковое значение для бетона марки М40, т.е. смесь S33 при минимальном обороте/сек. (iv) Для всех смесей максимальный предел текучести достигается при минимальном обороте/сек, т.е. , при 0,06 об/сек, и дает минимальный предел текучести при 1,09 об/сек. (v). Из рисунка 18 понятно, что требуется дальнейшее тщательное изучение потребляемой мощности. Увеличение потребляемой мощности может зависеть от некоторых других факторов, таких как содержание порошка (цемент + зола-унос + ГГБС), содержание примеси, содержание цемента.Таким образом, на рисунке 19 можно найти взаимосвязь между потреблением энергии и другими факторами, такими как общее содержание порошка и количество цемента, золы-уноса и GGBS. (vi) Из рисунка 19 видно, что потребление энергии для марки M40 бетон, т.е. для смесей С31 и С33, потребляет больше электроэнергии при замесе бетона в производстве РМЦ, что связано с наличием золы-уноса и отсутствием ГГБС. Смесь S32 потребляет минимальную мощность благодаря наличию ГГБС и отсутствию летучей золы. Максимальное и минимальное энергопотребление обусловлено отсутствием и наличием ГГБС соответственно.Наоборот, наличие золы-уноса требует больше энергии при смешивании, а отсутствие золы-уноса потребляет меньше энергии. (vii) В бетоне марки М30 смеси S21 и S22 потребляют минимальную мощность при наличии содержания ГГБС и при отсутствии летающий пепел. Смесь S23 потребляет максимальную мощность при отсутствии ГГБС и при наличии золы-уноса. (viii) В бетоне марки М25 смесь S13 потребляет больше энергии, чем смеси S11 и S12 в присутствии золы-уноса. Смесь S12 потребляет минимальную мощность при более высоком содержании GGBS и меньшем количестве летучей золы.Микс S11 потребляет максимальную мощность при микшировании даже при наличии GGBS. Причиной этого может быть наличие минимального содержания порошка по сравнению со всеми другими смесями. (ix) Общие результаты показывают, что присутствие GGBS потребляет меньше энергии, а летучая зола потребляет больше энергии в процессе смешивания.
9. Заключение и обсуждение
Бетон – исключительный материал, который нельзя сравнивать ни с каким другим ньютоновским и неньютоновским материалом. Бетон очень чувствителен, поскольку его предел текучести, измеренный в течение пятнадцати минут, покажет другие значения после того, как бетон начнет свое начальное схватывание.Следовательно, в этом исследовании наблюдается случайное изменение предела текучести и относительного предела текучести для разных оборотов в секунду. Энергозатраты при замесе самоуплотняющегося бетона на заводе РМЦ варьируются в основном из-за различных добавок, вводимых в бетонную смесь. Минеральные добавки, используемые в бетоне, обладают различными физическими и химическими свойствами. Как следствие, не все материалы ведут себя одинаково. Определение материала, который сводит к минимуму энергопотребление, и использование его при производстве бетона снижает энергопотребление производственного процесса.Оптимизация использования энергии во всех областях является конечной целью защиты наших природных ресурсов. Из приведенных выше результатов делается вывод, что потребление энергии не оказывает прямого влияния на предел текучести бетона. Ингредиенты, добавляемые в бетон, вызывают увеличение или снижение энергопотребления, и эти ингредиенты являются причиной увеличения или уменьшения предела текучести. Потребляемая мощность варьируется для каждой смеси в зависимости от добавленных примесей, таких как летучая зола и GGBS.Добавление GGBS и летучей золы является основной причиной увеличения предела текучести. Энергоемкость и предел текучести увеличиваются или уменьшаются из-за добавления в бетон минеральных добавок. Это также зависит от общего количества содержания порошка и характеристик ингредиента, добавляемого в бетон. Текстура ингредиентов является еще одним фактором, вызывающим внутреннее истирание на поверхности барабана. Истирание и межчастичное столкновение минеральных примесей с заполнителем является еще одним фактором, вызывающим повышение энергоемкости.Смесительному барабану трудно вращаться, так как твердые частицы сопротивляются вращению, и чтобы сбалансировать крутящий момент, барабан потребляет большую мощность для вращения. Это основная причина разницы в энергопотреблении при использовании разных добавок. Текучесть бетона является еще одним фактором увеличения или уменьшения предела текучести и потребляемой мощности. То есть увеличение величины осадки приводит к значительному увеличению предела текучести и потребляемой мощности.
+ +
Микс 0. 06 0,43 0,608 1,09 1,43
S11 371,71 144,69 327,63 209,84 203,29
S12 126,22 49,13 111.25 71.25 71.25 69.03
S13 152.61 59.41 134.41 86.15 86.15 83.46
S21 313.61 122,08 276,42 177,04 171,51
S22 241,28 94,70 214,43 137,34 133,05
S23 258,4 100,58 227,76 145,87 141.49
S31 106.08 41.29 41.29 93.50 59.88 59.02 58.02
S32 267. 86 104,27 236,10 151,21 146,49
S33 764,41 297,55 673,76 431,52 418,05
9
Комплекции M11 M12 M13 M21 M22 M23 M31 M32 M33
Потребляемая мощность (WATT-SEC) 349.15 350,85 355,32 368,27 358,27 378,04 367,47 344,1 410,062
Относительная предел текучести (Н / мм ²) 317,09 105,4 127,92 267.57 182.7 220 220 90.506 161. 36 652.19
190 150 150 170 110118 180 180 150118 200

57 : H : T : P : :
RMC: Ready-Mix Бетон
SCC: Самоучазный бетон
GGBS: Шлак доменный гранулированный молотый
K и G : Calibration Constance для коаксиального вискозиметра
τ ₀: : : μ : Roade Viscround
τ : Снижение напряжения
Γ̇ : сдвига 80118
: Интерфейс 13 -Axis H :
7 9 : TOURE
N : Speed
P : V : 71616: V : : : I : Текущий
CST: Centistoke
η : Вязкость.
Доступность данных
Данные о потреблении энергии, использованные для подтверждения результатов этого исследования, были размещены в ссылке [5].
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Энергетическое и экономическое сравнение различных видов топлива при производстве цемента
Уголь считается самым распространенным ископаемым топливом на Земле, глобальные извлекаемые запасы которого оцениваются в 216 лет [18]. Уголь обеспечивает 26% мирового потребления первичной энергии и 41% мирового производства электроэнергии.
Мазут представляет собой дистиллят или остаточную фракцию, полученную в результате перегонки нефти. Это любая жидкость из нефти, которая сжигается в печи для выработки тепла и электроэнергии. С точки зрения промышленного использования топлива, особенно при обжиге цементных печей, мазута или мазута с низкой заливкой (LPFO). Тяжелая нефть представляет собой длинный остаток, получаемый из атмосферной дистилляционной колонны. Мазут используется в основном для производства электроэнергии, для топки котлов и печей в промышленности, особенно в производстве цемента, целлюлозы и бумаги, а также для питания больших морских и других судов.
Природный газ — это ископаемое топливо, такое же, как нефть и уголь, поэтому он представляет собой остатки растений, животных, водорослей и микробов, живших миллионы лет назад. За прошедшие годы природный газ закрепил за собой жизненно важную роль во всех аспектах мирового развития, в частности, свою роль в замене угля и нефти с высоким содержанием энергии, чем два вышеупомянутых.
В Нигерии производство цемента увеличилось в геометрической прогрессии с 2 миллионов тонн в 2002 году до примерно 17 миллионов тонн в 2011 году [19].Таким образом, цементная промышленность Нигерии обеспечила около 60% производства цемента в регионе Западной Африки в 2011 году. Поскольку этот сектор потребляет значительное количество энергии, необходимо определить и сократить потери энергии [20]. Кроме того, удельная стоимость топлива для производства цемента в Нигерии составляет 30 долларов США за тонну, что очень высоко по сравнению с такой развитой страной, как Китай (6 долларов США за тонну), что способствует высокой стоимости цемента за единицу [21]. Использование анализа использования энергии для экономии энергии и финансовых средств вызвало исследовательский интерес в последние годы [22].Таким образом, эта исследовательская работа направлена на анализ затрат по отношению к тенденциям загрязнения каждого источника энергии и их последствий для здоровья и окружающей среды на основе энергетических данных, полученных от цементной промышленности.
2. Методология
2.1 Сбор данных
Три крупных производителя цемента в Нигерии (Dangote Cement в Обаджане, штат Коги; United Cement Company в Калабаре, UNICEM — Cross River и Nigerian Cement Company в Нкалагу, NIGERCEM, штат Эбони), Заводы с маркировкой A, B и C были получены для получения данных об энергии, потребляемой при производстве цемента, и были собраны для анализа.
2.1.1 Расчеты, использованные при анализе
Удельная теплоемкость:
Стандартный или общепринятый удельный расход топлива на производство клинкера составляет 720 ккал/м 720kcalm3e1
Пусть n = 1.
от Идеального газового права: PV = NRT
R = PACT × VACTTATATATATATAGIVIVED TEMONET R = POSTUREE2
R = PO × Votoatnormal Условие0 ° C CAND1.0ATME3
Поэтому
PACT × VACTTACT = PO ×VoToE4
Объемный расход Q=VtE5
Подставляя уравнение(4) в (1) и упрощая, имеем
Qo=Qact×PactPo×ToTactE6
Где Q _o = Q _N = Расход газа при нормальных условиях.
Q _act = измеренный расход в м ³ /час.
P _act = P измеренное + P окружающего воздуха
P окружающего воздуха = 1,01325 бар.
P _o = давление при нормальных условиях
T _o = температура при нормальных условиях
Следовательно,
QN=Qact×Pmeasured×PambientPO×TOTactNm3hrE7
4 мы имеем дело не с объемом и расходом.
Тогда уравнение принимает следующий вид:
Vo=Vact×ToTactNm3E8
V _o = объем при нормальных условиях.
Так как все давление и температура указаны в атмосферных и абсолютных единицах. В уравнении (8) жидкость в кубических метрах (м ³ ) преобразуется в нормальные кубические метры (Нм ³ ). Обращение уравнения. (8) преобразует жидкость в нормальных кубических метрах в кубические метры. Следовательно, уравнение (8) принимает вид:
Vact=Vo×PoPact×TactTom3E9
V _act = измеренный объем в м ³ .
n = количество молей.
R = молярная газовая постоянная.
T _act = температура в Кельвинах.
P _акт = P _{измеренный} + Pambient.
2.1.2 Анализ затрат
Следующая стоимость материалов для мазута, природного газа и угля была получена [23, 24, 25] соответственно;
Мазут (дизельное топливо) = 223,740 фунта стерлингов (0,587 доллара США) за литр.
Природный газ = 2,76 доллара США за 1000 футов ³ .
Уголь = 68 долларов США.9 за тонну.
Расчетная стоимость в Таблице 2 подлежит некоторым преобразованиям, поскольку потребление угля, топлива и энергии указано в тоннах. Стоимость природного газа указана в $/фут ³, а стоимость мазута указана в долларах за литр. Для двух случаев, когда используется объем, потребленное количество преобразуется из тонн в футы ³ и литры для природного газа и мазута, соответственно.
Плотность мазута (дизельного топлива) = 0,85 кг/литр.
Плотность природного газа = 0.68 кг/м ³ .
Плотность угля = 1506 кг/м ³ .
1 тонна = 1000 кг.
1 м ³ = 35,315 футов ³
объем = массовая плотность E10
3. Результаты
3.1 Состав дымовых газов
Таблица
Рисунок 1).
ГАЗОВОЙ 6095 66832474 67563925 44554983 3908 309
+
УГЛЯ ТОПЛИВА
С. Н. Фабрика Прод., Тонны Всего топливо C _P, KCAL / KG стоимость, $ PROD., Тонн Всего топлива C _P, KCAL / KG Стоимость, $ PROD. , т Всего топлива C девяносто одна тысяча шестьсот двадцать-один P +, ккал / кг Стоимость, $
1 6000 720 600 49608 6014 428755 697 2.96 х 10 ⁸ 6081 470470 698 67435924
6088 735 604 50,641. 5 6013 421850 676 2,91 х 10 ⁸ 466260 690
6148 745 606 51,330.5 6074 425987 686 2.94 х 10 ⁸ 6168 460000 673 65 2
6074 725 597 49,952.5 6148 424586 675 2,93 х 10 ⁸ 6081 471363 699
2 B 4,600 595 647 40,995. 5 5028 428577 834 2.96 х 10 ⁸ 4074 313647 694 441
4720 608 644 41,891.2 5145 412580 784 2,85 х 10 ⁸ 3563 310840 787
4175 540 646 37206 5111 417255 798 2.88 х 10 ⁸ 3612 306666 766 43
3
4834 621 642 42,786. 9 5273 435674 808 3,01 х 10 ⁸ 3554 314242 798 45042616
3 С 5125 612 597 42,166.8 5412 385789 697 2.65 х 10 ⁸ 3798 282283 670 40461698
5175 625 604 43,062.5 5466 383298 689 2,65 х 10 ⁸ 276000 637
5164 616 596 42,442. 5 5533 382037 675 2.64 x 10 ⁸ 3,807 279 756 279756 662 662 662 40 099 485 40 099485
Таблица 2.
Подсчитанное удельное потребление тепла и стоимости для различного топлива.
Prod = 24 часа Производство в тоннах; C _P = Удельная теплоемкость, Ккал/кг; Общее количество топлива = Общее количество топлива, израсходованного за 24 часа производства, тонн.
Рис. 1.
Дымовой газ от угля, мазута и природного газа по результатам анализа газа.
4.Обсуждение результатов
С точки зрения удельной теплоты потребления, наблюдается, что три различных цементных компаний, которые использовались для анализа; удельная теплота сгорания угля была меньше, чем у мазута и природного газа (табл. 2). Это свидетельствует о том, что уголь, как хороший источник энергии для обжига клинкера, учитывает его высокую теплотворную способность. С другой стороны, анализ затрат показал, что уголь является самой дешевой энергией, используемой этими цементными компаниями, как показано в Таблице 2, то есть 1 м ³ угля был потреблен по цене 103 доллара.766. Что касается природного газа, 1 м ³ из него был потреблен по цене 9,747 долл. США, а 1 м ³ сжиженного нефтяного газа был потреблен по цене 586,8513 долл. США.
Природный газ является наиболее доступным и высокоэкономичным источником энергии, используемым для производства цемента, по сравнению с углем и мазутом. Соответствующие результаты были представлены Ohunakin et al., [3] для анализа энергии и затрат производства цемента с использованием мокрого и сухого процессов в Нигерии. Судя по дымовым газам, полученным из этих трех источников энергии на цементном заводе Данготе (таблица 3), выбросы оксидов серы относительно выше при использовании угля и мазута, чем при использовании природного газа. Что касается выбросов окиси углерода, то они высоки в случае угля, за которым следует мазут, и низки в отношении природного газа. Выбросы оксидов азота выше при использовании угля и мазута по сравнению с природным газом. Кроме того, выбросы углекислого газа выше для угля и мазута по сравнению с природным газом. В аналогичном исследовании Уоррелл и др. [26] сообщают, что такие виды топлива, как уголь и кокс, способствуют увеличению удельных выбросов углекислого газа. Точно так же содержание кислорода в природном газе выше, чем в угле и мазуте. На основе дымовых газов природный газ представляет собой наиболее эффективный и наиболее экологически чистый источник энергии.
Dangote дымового газ (%) (от газоанализатора)
Соединения Угля Мазута Природного газа
СО девяносто один тысяча шестьсот двадцать один 2 девяносто одна тысяча шестьсот двадцать четыре 18. 01 17.73 17.02 17.02
CO 0,89 0.10 0,002
₂ O 12.80 15.51 16.71
NO 91 621 2 59,78 58,01 55,85
SO 91 621 2 0,82 0,92 0,05
СН 91 621 4 0,00 0,00 0.00
O ₂ ₂ 7.70 7.67 9.67 9.90 9.90
Таблица 3.
Сравнение дымового газа от угля, мазута и природного газа.
5. Заключение
Хотя уголь дает более низкую себестоимость потребления по сравнению с мазутом, для производства цемента, как и ожидалось, его можно было бы использовать в качестве непосредственной замены природного газа, если вдруг возникнет его недоступность. Тем не менее, экологические проблемы, связанные с его использованием в качестве источника энергии, нельзя игнорировать. LPFO (мазут) довольно дорог и неизбежно повлияет на стоимость конечного продукта. Сравнивая эти три завода друг с другом, самые низкие затраты на потребление энергии на тонну производства цемента были у завода B, а завод A был самым дорогим — для всех трех исследуемых источников энергии.Из анализа работы следует, что природный газ является одним из ископаемых видов топлива, используемых в производстве цемента. Это самое дешевое из трех видов топлива, используемого в производстве цемента, и оно легкодоступно. Кроме того, природный газ выделяет меньше парниковых газов в окружающую среду, тем самым снижая его воздействие на здоровье растений и животных. Уголь, который является близким заменителем, недоступен из-за закрытия угольной шахты в Нигерии и представляет слишком большую угрозу для окружающей среды и здоровья растений и животных.Мазут также доступен, но на данный момент это самое дорогое топливо, используемое в нигерийской цементной промышленности, а также представляет серьезную угрозу для окружающей среды и жизни.
6. Рекомендации
Источники энергии оказывают прямое влияние на рыночную цену цемента, окружающую среду и здоровье человека. Природный газ является доступным источником энергии в Нигерии, более экономичным и экологически чистым по сравнению с углем и мазутом. Поэтому рекомендуется — сократить расходы на электроэнергию, гарантировать электроснабжение электростанции и свести к минимуму выбросы в окружающую среду угроз, создаваемых цементной промышленностью.Завод B был наиболее энергоэффективным, и заводы A и C должны рассмотреть вопрос о более глубоком понимании их процесса. Стоимость единицы мазута, обычно используемого источника энергии при производстве цемента в Нигерии, очень высока, более 15 долларов по сравнению с 6 долларами. в Китае [3]. Это является причиной высокой стоимости цемента в Нигерии. Таким образом, рекомендуется необходимость энергоэффективного производственного процесса.
Конфликт интересов
Конфликт интересов, связанный с этой работой, отсутствует.
\n
1. Введение
\n
Оптимизация — очень старая тема, вызывающая большой интерес; мы можем углубиться в человеческую историю, чтобы найти важные примеры применения оптимизации в обычной жизни человека, например, необходимость найти лучший способ производства продуктов питания, найти лучший участок земли для производства, а также (позже, как время шло) лучшие способы обработки выбранной земли и выбранной рассады для получения наилучших результатов.
\n
С самого начала производства производители пытались найти способы получения максимального дохода при минимальных затратах.
\n
Примеров оптимизации процессов предостаточно в фармакологии (для определения геометрии молекулы), в метеорологии, в оптимизации траектории глубоководного аппарата, в оптимизации энергоуправления (оптимизация производства электростанций) и др.
\n
Оптимизация представляет собой важный инструмент в теории принятия решений и анализе физических систем.
\n
Теория оптимизации является очень развитой областью с ее широким применением в науке, технике, управлении бизнесом, военной и космической технике.
\n
Оптимизацию можно определить как процесс поиска наилучшего решения проблемы в определенном смысле и при определенных условиях.
\n
С течением времени оптимизация развивалась. Оптимизация стала самостоятельной областью математики в 1940 году, когда Данциг представил так называемый симплексный алгоритм линейного программирования.
\n
Большое развитие нелинейное программирование получило после появления в 1950-х годах методов сопряженных градиентов и квазиньютоновских методов.
\n
На сегодняшний день существует множество современных методов оптимизации, предназначенных для решения самых разных оптимизационных задач. Теперь они представляют собой необходимый инструмент для решения задач в самых разных областях.
\n
В начале необходимо определить целевую функцию, которой, например, могут быть технические затраты, прибыль или чистота материалов, время, потенциальная энергия и т. д.
\n
Целевая функция зависит от некоторые характеристики системы, которые называются переменными.Цель состоит в том, чтобы найти значения тех переменных, при которых целевая функция достигает своего наилучшего значения, которое мы называем экстремумом или оптимумом.
\n
Может случиться, что эти переменные выбраны таким образом, что они удовлетворяют определенным условиям, т.е. ограничениям.
\n
Процесс определения функции объекта, переменных и ограничений для данной задачи называется моделированием .
\n
Первым и наиболее важным шагом в процессе оптимизации является построение соответствующей модели, и этот шаг сам по себе может быть проблемой.А именно, в случае, если модель слишком упрощена, она не может быть точным отражением практической проблемы. С другой стороны, если построенная модель слишком сложна, то и решение задачи слишком сложно.
\n
После построения соответствующей модели необходимо применить соответствующий алгоритм решения задачи. Нет нужды подчеркивать, что универсального алгоритма решения поставленной задачи не существует.
\n
Иногда в приложениях набор входных параметров ограничен, т.е.т. е. входные параметры имеют значения в допустимом пространстве входных параметров \n\n\nD\nx\n\n\n; можно написать
\n
\n\nx\n∈\n\nD\nx\n\n.\n\n(1)\nE1
\n
Кроме (1), можно наложить и следующие условия :
\n
\n\n\nφ\nl\n\n\n\nx\n1\n\n…\n\nx\nn\n\n\n=\n\nφ\n\n0\ nl\n\n\n,\nl\n=\n1\n,\n…\n,\n\nm\n1\n\n<\nn\n,\n\n(2)\nE2
\n
\n\n\nψ\nj\n\n\n\nx\n1\n\n…\n\nx\nn\n\n\n≤\n\nψ\n\n0\nj\ n\n\n,\nj\n=\n1\n,\n…\n,\n\nm\n2\n\n.\n\n(3)\nE3
\n
Задача оптимизации состоит в том, чтобы найти минимум (максимум) целевой функции \n\nf\n\nx\n\n=\nf\n\n\nx\n1\n\n…\n\nx\nn\n\n\n \n, при условиях (1), (2) и (3).
\n
Если функция объекта линейна, а функции \n\n\nφ\nl\n\n\n\nx\n1\n\n…\n\nx\nn\n\n\n\ nl\n=\n1\n,\n…\n,\n\nm\n1\n\n\n и \n\n\nψ\nj\n\n\n\nx\n1\n\n …\n\nx\nn\n\n\n\nj\n=\n1\n,\n…\n,\n\nm\n2\n\n\n линейны, то речь идет о линейных задача программирования, а если хотя бы одна из указанных функций нелинейная, то речь идет о задаче нелинейного программирования.
\n
Задача оптимизации без ограничений может быть представлена как
\n
\n\n\nmin\n\nx\n∈\n\nR\nn\n\n\n\n\nf\n\nx\n \n,\n\n(4)\nE4
\n
где \n\nf\n∈\n\nR\nn\n\n\n — гладкая функция.
\n
Задача (4) фактически является задачей безусловной минимизации. Но хорошо известно, что задача безусловной минимизации эквивалентна задаче неограниченной максимизации, т.е.
\n
\n\nmin\nf\n\nx\n\n=\n−\nmax\n\n\n −\nf\n\nx\n\n\n\n,\n\n(5)\nE5
\n
, а также
\n
\n\nmax\nf\n\nx\n\n =\n−\nmin\n\n\n−\nf\n\nx\n\n\n\n.\n\n(6)\nE6
\n
Определение 1.1.1 \n\ n\nx\n∗\n\n\n называется глобальным минимизатором числа \n\nf\n\n , если \n\nf\n\n\nx\n∗\n\n\n ≤\nf\n\nx\n\n\n для всех \n\nx\n∈\n\nR\nn\n\n\n.
\n
Идеальной ситуацией является поиск глобального минимизатора \n\nf\n\n. Из-за того, что наше знание функции \n\nf\n\n обычно является только локальным, найти глобальный минимизатор может быть очень сложно. Обычно у нас нет полной информации о \n\nf\n\n. На самом деле, большинство алгоритмов могут найти только локальный минимизатор, то есть точку, которая достигает наименьшего значения \n\nf\n\n в своей окрестности.
\n
Итак, мы могли бы удовлетвориться поиском локального минимума функции \n\nf\n\n.Различают слабый и строгий (или сильный) локальный минимизатор.
\n
Формальные определения локального слабого и строгого минимизатора функции \n\nf\n\n следующие два определения соответственно.
\n
Определение 1.1.2 \n\n\nx\n∗\n\n\n называется слабым локальным минимумом \n\nf\n\n , если существует окрестность \ n\nN\n\n из \n\n\nx\n∗\n\n\n , такое, что \n\nf\n\n\nx\n∗\n\n\n≤ \nf\n\nx\n\n\n для всех \n\nx\n∈\nN\n\n.
\n
Определение 1.1.3 \n\n\nx\n∗\n\n\n называется строгим (сильным) локальным минимумом \n\nf\n\n , если существует окрестности \n\nN\n\n из \n\n\nx\n∗\n\n\n , такие, что \n\nf\n\n\nx\n∗\n\n \n<\nf\n\nx\n\n\n для всех \n\nx\n∈\nN\n\n.
\n
Учитывая обратные определения 1.1.2 и 1.1.3, процедура нахождения локального минимума (слабого или строгого) не кажется такой простой; кажется, что мы должны исследовать все точки из окрестности \n\n\nx\n∗\n\n\n, и это выглядит очень сложной задачей.
\n
К счастью, если объектная функция \n\nf\n\n удовлетворяет некоторым специальным условиям, мы можем решить эту задачу гораздо проще.
\n
Например, можно считать, что целевая функция \n\nf\n\n является гладкой или, тем более, дважды непрерывно дифференцируемой. Затем концентрируемся на градиенте \n\n∇\nf\n\n\nx\n∗\n\n\n\n, а также на гессиане \n\n\n∇\n2\n\nf \n\n\nx\n∗\n\n\n\n.
\n
Все алгоритмы безусловной минимизации требуют, чтобы пользователь начал с определенной точки, так называемой начальной точки, которую мы обычно обозначаем как \n\n\nx\n0\n\n\n.Хорошо выбрать \n\n\nx\n0\n\n\n так, чтобы это была разумная оценка решения. Но, чтобы найти такую оценку, нужно немного больше знаний о рассматриваемом наборе данных, а также необходимо систематическое исследование. Таким образом, гораздо проще использовать один из алгоритмов для нахождения \n\n\nx\n0\n\n\n или взять его произвольно.
\n
Существует два важных класса итерационных методов — методы поиска строки и методы доверительной области — созданные для решения задачи безусловной оптимизации (4).
\n
В этой главе сначала мы обсудим различные виды поиска строки. Затем мы подробно рассматриваем некоторые методы оптимизации линейного поиска, т. е. изучаем метод наискорейшего спуска, градиентный метод Барзилаи-Борвейна, метод Ньютона и метод квазиньютона.
\n
Также мы попытаемся привести некоторые из самых последних результатов в этих областях.
\n\n
2. Поиск строки
\n
Теперь рассмотрим задачу
\n
\n\n\nmin\n\nx\n∈\n\nR\nn\n\n\n \nf\n\nx\n\n,\n\n(7)\nE7
\n
, где \n\nf\n:\n\nR\nn\n\n→\nR\n\n равно непрерывно дифференцируемая функция, ограниченная снизу.
\n
Существует множество методов, направленных на решение задачи (7).
\n
Методы оптимизации, основанные на линейном поиске, используют следующую итеративную схему:
\n
\n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nx\nk\n \n+\n\nt\nk\n\n\nd\nk\n\n,\n\n(8)\nE8
\n
где \n\n\nx\nk\n\n\n текущая точка итерации, \n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n\n — следующая точка итерации, \n\n\nd\nk\n\n\n — поиск направлении, а \n\n\nt\nk\n\n\n — размер шага в направлении \n\n\nd\nk\n\n\n.
\n
Сначала рассмотрим монотонный линейный поиск.
\n
Теперь приведем итерационную схему такого поиска.
\n
Алгоритм 1.2.1. (поиск монотонной строки).
\n
Предположения: \n\nϵ\n>\n0\n\n, \n\n\nx\n0\n\n\n, \n\nk\n≔\n0\n\ н.
\n
Шаг 1. Если \n\n∥\n\ng\nk\n\n∥\n≤\nϵ\n\n, то СТОП.
\n
Шаг 2. Найти направление снижения \n\n\nd\nk\n\n\n.
\n
Шаг 3. Найдите размер шага \n\n\nt\nk\n\n\n, такой, что \n\nf\n\n\n\nx\nk\n\n+\n\nt \nk\n\n\nd\nk\n\n\n\n<\nf\n\n\nx\nk\n\n\n\n.
\n
Шаг 4. Установить \n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nx\nk\n\n+\n\nt\nk\n\n\ п\нк\n\n\n.
\n
Шаг 5. Возьмем \n\nk\n≔\nk\n+\n1\n\n и перейдем к шагу 1.
\n
Обозначим
\n
\n\nΦ\n\nt\n \n=\nf\n\n\n\nx\nk\n\n+\n\ntd\nk\n\n\n\n.\n\n
\n
Пытаясь решить задачу минимизации, мы будут искать размер шага \n\nt\n=\n\nt\nk\n\n\n, в направлении \n\n\nd\nk\n\n\n, такой, что следующий выполняется соотношение:
\n
\n\nΦ\n\n\nt\nk\n\n\n<\nΦ\n\n0\n\n.\n\n
\n
Эта процедура называется поиск монотонной строки.
\n
Можно найти размер шага \n\n\nt\nk\n\n\n таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:
\n
\n\nf\n\n\n\ nx\nk\n\n+\n\nt\nk\n\n\nd\nk\n\n\n\n=\n\nmin\n\nt\n≥\n0\n\n\nf\ n\n\n\nx\nk\n\n+\n\nt\nk\n\n\nd\nk\n\n\n\n,\n\n(9)\nE9
\n
т.е.
\n
\n\nΦ\n\n\nt\nk\n\n\n=\n\nmin\n\nt\n≥\n0\n\n\nΦ\n\nt\n\n ,\n\n(10)\nE10
\n
или мы можем использовать следующую формулу:
\n
\n\n\nt\nk\n\n=\nmin\n\nt\n\ng\ n\n\n\n\nx\nk\n\n+\n\ntd\nk\n\n\n\nT\n\n\nd\nk\n\n=\n0\n\n\nt \n≥\n0\n\n\n.\n\n(11)\nE11
\n
В данном случае речь идет о точном или оптимальном поиске строки, где параметр \n\n\nt\nk\n\n\n, полученное как решение одномерной задачи (10), является оптимальным размером шага .
\n
С другой стороны, вместо использования соотношения (9) или соотношения (11) можно удовлетвориться поиском таких \n\n\nt\nk\n\n\n, что приемлемо, если нас устраивает следующее соотношение:
\n
\n\nf\n\n\nx\nk\n\n\n−\nf\n\n\n\nx\nk\n\n+\n\ nt\nk\n\n\nd\nk\n\n\n\n>\n\nδ\nk\n\n>\n0\n.\n\n
\n
Тогда речь идет о неточном или приблизительном или приемлемом поиске строки, который очень часто используется на практике.
\n
Есть несколько причин использовать неточный поиск строки вместо точного. Одна из них заключается в том, что точный поиск строки стоит дорого. Далее, в тех случаях, когда итерация далека от решения, точный поиск строки неэффективен. Далее, на практике скорость сходимости многих методов оптимизации (таких как ньютоновский или квази-ньютоновский) не зависит от точного поиска линии.
\n
Сначала упомянем так называемые базовые и, кстати, очень известные неточные строчные поиски.
\n
Алгоритм 1.2.2. (возврат).
\n
Допущения: \n\n\nx\nk\n\n\n, направление снижения \n\n\nd\nk\n\n\n, \n\n0\n<\nδ\ n<\n\n1\n2\n\n\n, \n\nη\n∈\n\n0\n1\n\n\n.
\n
Шаг 1. \n\nt\n≔\n1\n\n.
\n
Шаг 2. Пока \n\nf\n\n\n\nx\nk\n\n+\n\ntd\nk\n\n\n\n>\nf\n\n\nx\ nk\n\n\n+\nδ\n\ntg\nk\nT\n\n\nd\nk\n\n\n, \n\nt\n≔\nt\n⋅\nη\n\n .
\n
Шаг 3. Установите \n\n\nt\nk\n\n=\nt\n\n.
\n
Теперь опишем правило Армихо.
\n
Теорема 1.2.1. [1] Пусть \n\nf\n∈\n\nC\n1\n\n\n\nR\nn\n\n\n\n и пусть \n\n\nd\nk \n\n\n — направление спуска. Тогда существует неотрицательное число \n\n\nm\nk\n\n\n , такое что
\n\nf\n\n\n\nx\nk\n\n+\n\ nη\n\nm\nk\n\n\n\nd\nk\n\n\n\n≤\nf\n\n\nx\nk\n\n\n+\n\nc\n1\n \n\nη\n\nm\nk\n\n\n\ng\nk\nT\n\n\nd\nk\n\n,\n\n
\n
, где \n\n\nc \n1\n\n∈\n\n0\n1\n\n\n и \n\nη\n∈\n\n0\n1\n\n\n.
\n
Далее опишем правило Гольдштейна [2].
\n
Размер шага \n\n\nt\nk\n\n\n выбирается таким образом, чтобы
\n
\n\n\n\n\nf\n\n\n\nx \nk\n\n+\n\ntd\nk\n\n\n\n≤\nf\n\n\nx\nk\n\n\n+\nδ\n\ntg\nk\nT\n\ n\nd\nk\n\n,\n\n\n\n\nf\n\n\n\nx\nk\n\n+\n\ntd\nk\n\n\n\n>\ nf\n\n\nx\nk\n\n\n+\n\n\n1\n−\nδ\n\n\n\ntg\nk\nT\n\n\nd\nk\n\n ,\n\n\n\n\n
\n\n
, где \n\n0\n<\nδ\n<\n\n1\n2\n\n\n.
\n
Теперь правила поиска строки Вульфа следуют [3], [4].
\n
Стандартные условия поиска линии Вульфа:
\n
\n\nf\n\n\n\nx\nk\n\n+\n\nt\nk\n\n\nd\nk\n\n \n\n−\nf\n\n\nx\nk\n\n\n≤\nδ\n\nt\nk\n\n\ng\nk\nT\n\n\nd\nk\n \n,\n\n(12)\nE12
\n
\n\n\ng\n\nk\n+\n1\n\nT\n\n\nd\nk\n\n≥\nσ\ n\ng\nk\nT\n\n\nd\nk\n\n,\n\n(13)\nE13
\n
где \n\n\nd\nk\n\n\n — направление спуска и \n\n0\n<\nδ\n≤\nσ\n<\n1\n\n.
\n
Эта эффективная стратегия означает, что мы должны принять положительную длину шага \n\n\nt\nk\n\n\n, если выполняются условия (12)–(13).
\n
Сильные условия поиска линии Вульфа состоят из (12) и следующей, более сильной версии (13):
\n
\n\n∣\n\ng\n\nk\n+\n1\n\nT \n\n\nd\nk\n\n∣\n≤\n−\nσ\n\ng\nk\nT\n\n\nd\nk\n\n.\n\n(14)\ nE14
\n
В обобщенных условиях поиска линии Вульфа модуль в (14) заменяется неравенствами:
\n
\n\n\nσ\n1\n\n\ng\nk\nT\n \n\nd\nk\n\n≤\n\ng\n\nk\n+\n1\n\nT\n\n\nd\nk\n\n≤\n−\n\nσ\n2\ n\n\ng\nk\nT\n\n\nd\nk\n\n,\n0\n<\nδ\n≤\n\nσ\n1\n\n<\n1\n,\n \nσ\n2\n\n≥\n0\n.\n\n(15)\nE15
\n
С другой стороны, в приближенных условиях поиска линии Вульфа неравенства (15) заменяются следующими:
\n
\n\nσ\n\ng \nk\nT\n\n\nd\nk\n\n≤\n\ng\n\nk\n+\n1\n\nT\n\n\nd\nk\n\n≤\n\n \n2\nδ\n−\n1\n\n\n\ng\nk\nT\n\n\nd\nk\n\n,\n0\n<\nδ\n<\n\n1\n2 \n\n,\nδ\n<\nσ\n<\n1\n.\n\n(16)\nE16
\n
Следующая лемма очень важна.
\n
Лемма 1.2.1. [5] Пусть \n\nf\n∈\nC\n\n\nR\nn\n\n\n\n . Пусть \n\n\nd\nk\n\n\n — направление спуска в точке \n\n\nx\nk\n\n\n , и пусть функция \n\ nf\n\n ограничен снизу по направлению \n\n\n\n\nx\nk\n\n+\n\ntd\nk\n\n\n\nt\n>\n0\ п\п\п\п. Тогда, если \n\n\n0\n<\nδ\n<\nσ\n<\n1\n\n, существуют интервалы, внутри которых длина шага удовлетворяет стандартным условиям Вульфа и сильным условиям Вульфа.
\n
С другой стороны, введение немонотонного линейного поиска мотивировано существованием проблем, когда направление поиска не обязательно должно быть направлением спуска. Это может происходить, например, при стохастической оптимизации [6].
\n
Далее, некоторые эффективные квазиньютоновские методы, например \n\nSR\n1\n\n update, не выдают направление спуска на каждой итерации [5].
\n
Кроме того, некоторые эффективные методы, такие как спектральные, вовсе не являются монотонными.
\n
Некоторые численные результаты, приведенные в [7, 8, 9, 10, 11], показывают, что немонотонные методы лучше, чем монотонные, если задача состоит в том, чтобы найти глобальные оптимальные значения целевой функции.
\n
Алгоритмы немонотонного линейного поиска не требуют спуска целевой функции на каждом шаге. Но даже эти алгоритмы требуют редукции целевой функции после заданного числа итераций.
\n
Первая методика поиска немонотонных строк представлена в [12]. А именно, в [12] задача состоит в том, чтобы найти размер шага, который удовлетворяет
\n
\n\nf\n\n\n\nx\nk\n\n+\n\nt\nk\n\n\ nd\nk\n\n\n\n≤\n\nmax\n\n0\n≤\nj\n≤\nm\n\nk\n\n\n\nf\n\n\nx\n \nk\n−\nj\n\n\n\n+\nδ\n\nt\nk\n\n\ng\nk\nT\n\n\nd\nk\n\n,\n\n
\n
где \n\nm\n\n0\n\n=\n0\n\n, \n\n0\n≤\nm\n\nk\n\n≤\nmin\n\n\ nm\n\n\nk\n−\n1\n\n\n+\n1\n\nM\n\n\n, для \n\nk\n≥\n1\n\n, \n\nδ \n∈\n\n0\n1\n\n\n, где \n\nM\n\n — целое неотрицательное число.
\n
Эта стратегия фактически является обобщением линейного поиска Armijo. В той же работе авторы предполагают, что направления поиска удовлетворяют следующим условиям для некоторых положительных констант \n\n\nb\n1\n\n\n и \n\n\nb\n2\n\n\n:
\n
\n\n\n\n\n\ng\nk\nT\n\n\nd\nk\n\n≤\n−\n\nb\n1\n\n∥\n\ ng\nk\n\n\n∥\n2\n\n,\n\n\n\n\n∥\n\nd\nk\n\n∥\n≤\n\nb\n2\n \n∥\n\ng\nk\n\n∥\n.\n\n\n\n\n
\n
Следующий немонотонный поиск строки описан в [11].
\n
Пусть \n\n\nx\n0\n\n\n будет начальной точкой, и пусть
\n
\n\n0\n≤\n\nη\nmin\n\n≤\n \nη\nmax\n\n≤\n1\n,\n0\n<\nδ\n<\nσ\n<\n1\n<\nρ\n,\nµ\n>\n0\n.\n\n
\n
Пусть \n\n\nC\n0\n\n=\nf\n\n\nx\n0\n\n\n\n, \n\n\nQ\n0\ n\n=\n1\n\n.
\n
Размер шага должен удовлетворять следующим условиям:
\n
\n\nf\n\n\n\nx\nk\n\n+\n\nt\nk\n\n\nd\nk \n\n\n\n≤\n\nC\nk\n\n+\nδ\n\nt\nk\n\n\ng\nk\nT\n\n\nd\nk\n\n, \n\n(17)\nE17
\n
\n\ng\n\n\n\nx\nk\n\n+\n\nt\nk\n\n\nd\nk\n\n\ n\n≥\nσ\n\ng\nk\nT\n\n\nd\nk\n\n.\n\n(18)\nE18
\n
Значение \n\n\nη\nk \n\n\n выбирается из интервала \n\n\n\nη\nmin\n\n\nη\nmax\n\n\n\n и затем
\n
\n\n\nQ\ n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nη\nk\n\n\nQ\nk\n\n+\n1\n,\n\nC\n\nk\n+\n1\ n\n\n=\n\n\n\nη\nk\n\n\nQ\nk\n\n\nC\nk\n\n+\nf\n\n\nx\n\nk\n+ \n1\n\n\n\n\n\nQ\n\nk\n+\n1\n\n\n\n.\n\n
\n
Немонотонные правила, которые содержат последовательность неотрицательных параметров \n\n\n\nϵ\nk\n\n\n\n впервые используются в [13], и успешно используются во многих других алгоритмах, например, в [14]. Предполагается следующее свойство параметров \n\n\nϵ\nk\n\n\n:
\n
\n\n\nϵ\nk\n\n>\n0\n,\n\n\ n∑\nk\n\n\nϵ\nk\n\n=\nϵ\n<\n∞\n,\n\n
\n
и соответствующее правило
\n
\n\nf\ n\n\n\nx\nk\n\n+\n\nt\nk\n\n\nd\nk\n\n\n\n≤\nf\n\n\nx\nk\n\n \n+\n\nc\n1\n\n\nt\nk\n\n\ng\nk\nT\n\n\nd\nk\n\n+\n\nϵ\nk\n\n.\n\n
\n
Теперь приведем немонотонный алгоритм линейного поиска, сокращенно \n\nNLSA\n\n, представленный в [11].
\n
Алгоритм 1.2.3. ( \n\nNLSA\n\n ).
\n
Предположения: \n\n\nx\n0\n\n\n, \n\n0\n≤\n\nη\nmin\n\n≤\n\nη\nmax\n\n ≤\n1\n\n, \n\n0\n<\nδ\n<\nσ\n<\n1\n<\nρ\n\n, \n\nμ\n>\n0\n\n .
\n
Установить \n\n\nC\n0\n\n=\nf\n\n\nx\n0\n\n\n\n, \n\n\nQ\n0\n\n= \n1\n\n, \n\nk\n=\n0\n\n.
\n
Шаг 1. Если \n\n∥\n∇\nf\n\n\nx\nk\n\n\n∥\n\n достаточно мало, то СТОП.
\n
Шаг 2. Установить \n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nx\nk\n\n+\n\nt\nk\n\n\ nd\nk\n\n\n, где \n\n\nt\nk\n\n\n удовлетворяет либо (немонотонным) условиям Вульфа (17) и (18), либо (немонотонным) условиям Армихо условия: \n\n\nt\nk\n\n=\n\n\nt\n¯\n\nk\n\n\nρ\n\nh\nk\n\n\n\n, где \n\n\n\nt\n¯\n\nk\n\n>\n0\n\n — пробный шаг, а \n\n\nh\nk\n\n\n — наибольшее целое число, такое что выполняется (17) и \n\n\nt\nk\n\n≤\nµ\n\n.
\n
Шаг 3. Выберите \n\n\nη\nk\n\n∈\n\n\nη\nmin\n\n\nη\nmax\n\n\n\n и установите
\ n
\n\n\nQ\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nη\nk\n\n\nQ\nk\n\n+\n1\n,\n\nC \n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\n\n\nη\nk\n\n\nQ\nk\n\n\nC\nk\n\n+\nf\n\ n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n\n\n\n/\n\nQ\n\nk\n+\n1\n\n\n.\n\n
\n
Шаг 4. Установить \n\nk\n≔\nk\n+\n1\n\n и перейти к шагу 1.
\n
Можно заметить [11], что \n\n \nC\n\nk\n+\n1\n\n\n\n является выпуклой комбинацией \n\nf\n\n\nx\n0\n\n\n,\nf\n\n\nx \n1\n\n\n,\n…\n,\n\nf\n\n\nx\nk\n\n\n\n. Параметр \n\n\nη\nk\n\n\n управляет степенью немонотонности.
\n
Если \n\n\nη\nk\n\n=\n0\n\n для всех \n\nk\n\n, то этот немонотонный линейный поиск становится монотонным линейным поиском Вульфа или Армихо.
\n
Если \n\n\nη\nk\n\n=\n1\n\n для всех \n\nk\n\n, то \n\n\nC\nk\n\n=\ n\nA\nk\n\n\n, где
\n
\n\n\nA\nk\n\n=\n\n1\n\nk\n+\n1\n\n\n\n ∑\n\ni\n=\n0\n\nk\n\nf\n\n\nx\ni\n\n\n.\n\n
\n
Лемма 1.2.2. [11] Если \n\n∇\nf\n\n\n\nx\nk\n\n\nT\n\n\nd\nk\n\n≤\n0\n\n для каждого \n\nk\n\n , то для итераций, сгенерированных немонотонным алгоритмом поиска строки, мы имеем \n\n\nf\nk\n\n≤\n\nC\nk\ n\n≤\n\nA\nk\n\n\n для каждого \n\nk\n\n . Более того, если \n\n∇\nf\n\n\n\nx\nk\n\n\nT\n\n\nd\nk\n\n<\n0\n\n и \ n\nf\n\nx\n\n\n ограничены снизу, то существует \n\n\n\nt\nk\n\n\n , удовлетворяющих условиям Вульфа или Армихо линейного поиска Обновить.
\n
Это исследование было бы очень неполным, если бы мы не упомянули, что существует много модификаций вышеупомянутых строковых поисков. Все эти модификации сделаны для улучшения предыдущих результатов.
\n
Например, в [15] новый неточный поиск строки описывается следующим образом.
\n
Пусть \n\nβ\n∈\n\n0\n1\n\n\n, \n\nσ\n∈\n\n0\n\n1\n2\n\n\n\n ; пусть \n\n\nB\nk\n\n\n — симметричная положительно определенная матрица, которая аппроксимирует \n\n\n∇\n2\n\nf\n\n\nx\nk\n\n\n \n и \n\n\ns\nk\n\n=\n−\n\n\n\ng\nk\nT\n\n\nd\nk\n\n\n\n\nd\ nk\nT\n\n\nB\nk\n\n\nd\nk\n\n\n\n\n.Размер шага \n\n\nt\nk\n\n\n является наибольшим из \n\n\n\ns\nk\n\n\n\ns\nk\n\nβ\n\n \n\ns\nk\n\n\nβ\n2\n\n\n…\n\n\n такие, что
\n
\n\nf\n\n\n\nx\nk\n\ n+\n\ntd\nk\n\n\n\n−\nf\n\n\nx\nk\n\n\n≤\nσt\n\n\n\ng\nk\nT\n\ n\nd\nk\n\n+\n\n1\n2\n\n\ntd\nk\nT\n\n\nB\nk\n\n\nd\nk\n\n\n\n. \n\n
\n
Далее в [16] представлено новое неточное правило поиска строки. Это правило представляет собой модифицированную версию классического правила поиска строки Armijo. Описываем сейчас.
\n
Пусть \n\ng\n=\n∇\nf\n\nx\n\n\n — непрерывная функция Липшица, а \n\nL\n\n — постоянная Липшица.Пусть \n\n\nL\nk\n\n\n будет приближением \n\nL\n\n. Установить
\n
\n\n\nβ\nk\n\n=\n−\n\n\n\ng\nk\nT\n\n\nd\nk\n\n\n\n\ nL\nk\n\n∥\n\nd\nk\n\n\n∥\n2\n\n\n\n.\n\n
\n
Найти размер шага \n\n\nt \nk\n\n\n как наибольший компонент множества \n\n\n\nβ\nk\n\n\n\nβ\nk\n\nρ\n\n\n\nβ\nk\ n\n\nρ\n2\n\n…\n\n\n\n такое, что неравенство
\n
\n\nf\n\n\n\nx\nk\n\n+\n\nt \nk\n\n\nd\nk\n\n\n\n≤\nf\n\n\nx\nk\n\n\n+\nσ\n\nt\nk\n\n\n\ n\ng\nk\nT\n\n\nd\nk\n\n−\n\n1\n2\n\n\nt\nk\n\nμ\n\nL\nk\n\n∥\ n\nd\nk\n\n\n∥\n2\n\n\n\n\n
\n
, где \n\nσ\n∈\n\n0\n1\n\n\n , \n\nµ\n∈\n\n0\n∞\n\n\n и \n\nρ\n∈\n\n0\n1\n\n\n — заданные константы.
\n
Далее в [17] дается новый, модифицированный линейный поиск Вульфа следующим образом.
\n
Найти \n\n\nt\nk\n\n>\n0\n\n такое, что
\n
\n\n\n\n\nf\n\n\n\nx\nk \n\n+\n\nt\nk\n\n\nd\nk\n\n\n\n−\nf\n\n\nx\nk\n\n\n≤\nmin\n\n \nδ\n\nt\nk\n\n\ng\nk\nT\n\n\nd\nk\n\n\n\n−\nγ\n\nt\nk\n2\n\n∥ \n\nd\nk\n\n\n∥\n2\n\n\n\n,\n\n\n\n\ng\n\n\n\n\nx\nk\n\n+ \n\nt\nk\n\n\nd\nk\n\n\n\nT\n\n\nd\nk\n\n≥\nσ\n\ng\nk\nT\n\n\ nd\nk\n\n,\n\n\n\n\n
\n
где \n\nδ\n∈\n\n0\n1\n\n\n, \n\nσ\n∈ \n\nδ\n1\n\n\n и \n\nγ\n>\n0\n\n.
\n
Более свежие результаты по этой теме можно найти, например, в [18, 19, 20, 21, 22, 23].
\n\n
2.1 Наискорейший спуск (\n\nSD\n\n)
\n
Классический метод наискорейшего спуска, разработанный Коши [24], можно считать одной из важнейших процедур минимизации реальных -значная функция, определенная на \n\n\nR\nn\n\n\n.
\n
Самый крутой спуск — один из простейших методов минимизации для безусловной оптимизации. Поскольку он использует отрицательный градиент в качестве направления поиска, он также известен как метод градиента.
\n
Он имеет низкие вычислительные затраты и малые требования к памяти матрицы, поскольку не требует вычисления вторых производных для вычисления направления поиска [25].
\n
Предположим, что \n\nf\n\nx\n\n\n непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки \n\n\nx\nk\n\n\n, а также пусть \n \n\ng\nk\n\n≜\n∇\nf\n\n\nx\nk\n\n\n≠\n0\n\n.
\n
Используя разложение Тейлора функции \n\nf\n\n вблизи \n\n\nx\nk\n\n\n, а также неравенство Коши-Шварца, легко доказать, что наибольшее падение \n\nf\n\n существует тогда и только тогда, когда \n\n\nd\nk\n\n=\n−\n\ng\nk\n\n\n, т.е.т. е., \n\n−\n\ng\nk\n\n\n — направление наискорейшего спуска.
\n
Итерационная схема метода \n\nSD\n\n
\n
\n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nx\nk \n\n−\n\nt\nk\n\n\ng\nk\n\n.\n\n(19)\nE19
\n
Классический метод наискорейшего спуска использует точный поиск по прямой.
\n
Теперь приведем алгоритм метода наискорейшего спуска, который относится как к точному, так и к неточному поиску строки.
\n
Алгоритм 1.2.4. (метод наискорейшего спуска, т.е., \n\nSD\n\n метод ).
\n
Предположения: \n\n0\n<\nϵ\n≪\n1\n\n, \n\n\nx\n0\n\n∈\n\nR\nn\n\n\ н. Пусть \n\nk\n=\n0\n\n.
\n
Шаг 1. Если \n\n∥\n\ng\nk\n\n∥\n≤\nε\n\n, то СТОП, иначе установить \n\n\nd\nk\n\ n=\n−\n\ng\nk\n\n\n.
\n
Шаг 2. Найдите размер шага \n\n\nt\nk\n\n\n, который является решением задачи
\n
\n\n\nmin\n\nt\n≥ \n0\n\n\nf\n\n\n\nx\nk\n\n+\n\ntd\nk\n\n\n\n,\n\n(20)\nE20
\n
иначе найдите размер шага \n\n\nt\nk\n\n\n любым из неточных методов поиска строки.
\n
Шаг 3. Установить \n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nx\nk\n\n+\n\nt\nk\n\n\ п\нк\n\n\n.
\n
Шаг 4. Установить \n\nk\n≔\nk\n+\n1\n\n и перейти к шагу 1.
\n
Классический и самый старый размер шага наискорейшего спуска \n\n\nt \nk\n\n\n, который был разработан Коши (в случае точного поиска строки), вычисляется как [26]
\n\n\nt\nk\n\n=\n\n \n\ng\nk\nT\n\n\ng\nk\n\n\n\n\ng\nk\nT\n\n\nGg\nk\n\n\n\n,\n\ n
\n
где \n\n\ng\nk\n\n=\n∇\nf\n\n\nx\nk\n\n\n\n и \n\nG\n=\n \n∇\n2\n\nf\n\n\nx\nk\n\n\n\n.
\n
Теорема 1.2.2. [27] (Теорема о глобальной сходимости метода \n\nSD\n\n ) Пусть \n\nf\n∈\n\nC\n1\n\n\n . Тогда каждая точка накопления итерационной последовательности \n\n\n\nx\nk\n\n\n\n , сгенерированной алгоритмом 1.2.4, является стационарной точкой.
\n
Примечание 1.2.1. Метод наискорейшего спуска имеет по крайней мере линейную скорость сходимости.
\n
Дополнительные сведения о сходимости метода SD можно найти в [5, 27].
\n
Несмотря на то, что он известен как первый метод неограниченной оптимизации, этот метод до сих пор является предметом изучения ученых.
\n
Существуют различные модификации этого метода, например, см. [25, 28, 29, 30, 31, 32].
\n
В [28] авторы представили новое направление поиска из метода Коши в виде двух параметров, известных как метод Зубайи-Мустафы-Ривае-Исмаила, сокращенно \n\nZMRI\n\n метод:
\n
\n\n\nd\nk\n\n=\n−\n\ng\nk\n\n−\n∥\n\ng\nk\n\n∥\n\ нг\n\nk\n−\n1\n\n\n.\n\n(21)\nE21
\n
Так, в [28] предлагается новая модификация метода \n\nSD\n\n с использованием нового направления поиска, \n\n\nd\nk\ n\n\n, определяемый (21). Численные результаты представлены на основе количества итераций и процессорного времени. Показано, что этот новый метод эффективен по сравнению с классическим \n\nSD\n\n.
\n
В [25] представлено новое масштабированное направление поиска метода \n\nSD\n\n. Вдохновением для этого нового метода послужила работа Андрея [33], в которой автор представляет и анализирует новый масштабированный алгоритм сопряженных градиентов, основанный на интерпретации уравнения секущих и неточных условиях поиска линии Вульфа.
\n
Метод, предложенный в [25], известен как метод Rashidah-Rivaie-Mamat (\n\nRRM\n\n) и предлагает направление \n\n\nd\nk\n\n \n определяется следующим соотношением:
\n
\n\n\nd\nk\n\n=\n\n\n\n\n−\n\ng\nk\n\n,\nif\ n\nk\n=\n0\n,\n\n\n\n\n−\n\nθ\nk\n\n\ng\nk\n\n−\n∥\n\ng\nk \n\n∥\n\ng\n\nk\n−\n1\n\n\n,\n\n\n\n\n\n(22)\nE22
\n
, где \n\ n\nθ\nk\n\n\n — масштабирующий параметр, \n\n\nθ\nk\n\n=\n\n\n\nd\n\nk\n−\n1\n\nT \n\n\ny\n\nk\n−\n1\n\n\n\n\n∥\n\ng\n\nk\n−\n1\n\n\n\n∥\n2 \n\n\n\n\n, \n\n\ny\n\nk\n−\n1\n\n\n=\n\ng\nk\n\n−\n\ng\n \nk\n−\n1\n\n\n\n.
\n
Далее в [25] проведено сравнение методов \n\nRRM\n\n, \n\nZMRI\n\n и \n\nSD\n\n; показано, что метод \n\nРРМ\n\n лучше, чем методы \n\nЗМРТ\n\n и \n\nСД\n\n.
\n
Интересно, что в [25] используется точный поиск строки.
\n
В [34] рассмотрены свойства метода наискорейшего спуска из литературы, а также преимущества и недостатки каждой процедуры размера шага.
\n
А именно, размер шага процедур, сравниваемых в данной статье, составляет:
\n
1.\n\n\nt\nk\n\n=\n\n\n\ng\nk\nT\n\n\ng\nk\n\n\n\n\ng\nk\nT\n\ n\nH\nk\n\n\ng\nk\n\n\n\n\n: метод размера шага по Коши [24], рассчитанный путем точного поиска строки (размер шага \n\nC\n\n) .
\n
2. Даны \n\ns\n>\n0\n,\nβ\n,\nσ\n∈\n\n0\n1\n\n,\n\nt\nk\n\n =\nmax\n\ns\nsβ\n\ns\n\nβ\n2\n\n\n…\n\n\n такой, что
\n
\n\nf\n\n\n\nx \nk\n\n+\n\nt\nk\n\n\nd\nk\n\n\n\n≤\nf\n\n\nx\nk\n\n\n+\nσ\n\ nt\nk\n\n\ng\nk\nT\n\n\nd\nk\n\n−\n\nArmijo\n’\n\ns\n\nline\n \nsearch\n\n\ n\nA\n\nшаг\n \nразмер\n\n\n.\n\n
\n
3.Учитывая \n\nβ\n,\nσ\n∈\n\n0\n1\n\n\n,\n\n\n\n\nt\n˜\n\n0\n\n=\n1 \n\n и \n\n\n\nt\nk\n\n=\nβ\n\n\nt\n˜\n\nk\n\n\n такие, что
\n
\n \nf\n\n\n\nx\nk\n\n+\n\nt\nk\n\n\nd\nk\n\n\n\n≤\nf\n\n\nx\nk\ n\n\n+\nσ\n\nt\nk\n\n\ng\nk\nT\n\n\nd\nk\n\n−\nОбратный поиск\n \nline\n \nsearch\n\n \n\nB\n\nшаг\n \nразмер\n\n\n.\n\n
\n
4. \n\n\nt\nk\n\n=\n\n\n\ns \n\nk\n−\n1\n\nT\n\n\ny\n\nk\n−\n1\n\n\n\n\n∥\n\ny\n\nk\n− \n1\n\n\n\n∥\n2\n\n\n\n\n, (\n\nBB\n1\n\n), \n\n\nt\nk\n\n= \n\n\n∥\n\ns\n\nk\n−\n1\n\n\n\n∥\n2\n\n\n\n\ns\n\nk\n−\n1 \n\nT\n\n\ny\n\nk\n−\n1\n\n\n\n\n\n, (\n\nBB\n2\n\n), \n\n\ ns\n\nk\n−\n1\n\n\n=\n\nx\nk\n\n−\n\nx\n\nk\n−\n1\n\n\n\n \ n\n\ny\n\nk\n−\n1\n\n\n=\n\ng\nk\n\n−\n\ng\n\nk\n−\n1\n\n\ n,\n\n: формула Барзилая и Борвейна.Сходимость R-суперлинейная.
\n
5. \n\n\nt\nk\n\n=\n\n\n\nt\n\nk\n−\n1\n\n2\n\n\ng\nk\nT \n\n\ng\nk\n\n\n\n2\n(\nf\n\n\n\nx\nk\n\n+\n\nt\nk\n\n\nd\nk\ n\n\n\n−\nf\n\n\nx\nk\n\n\n+\n\nt\n\nk\n−\n1\n\n\n\ng\nk\nT\ n\n\ng\nk\n\n\n\n,\n\n: Поиск строки исключения (размер шага \n\nEL\n\n), который оценивает размер шага без вычисления гессиана
\ n
Сравнение основано на времени выполнения, общем количестве итераций, общем проценте функции, градиенте и оценке Гессе, а также полученном максимально уменьшенном значении целевой функции.
\n
Из численных результатов авторы делают вывод, что метод \n\nA\n\n и метод \n\nBB\n1\n\n являются лучшими среди других методов.
\n
Далее в [34] приведены общие выводы о методе наискорейшего спуска:
Этот метод чувствителен к начальной точке.
Этот метод имеет свойство спуска и является логической стартовой процедурой для всех методов, основанных на градиенте.
\n\n\n\nx\nk\n\n\n приближается к минимизатору медленно, фактически зигзагообразно.
\n
В [35] с целью достижения быстрой сходимости и свойства монотонности предложен новый размер шага для метода наискорейшего спуска.
\n
В [36] для квадратичных положительно определенных задач рассмотрена сверхрелаксация. А именно, Райдан и Свайтер [36] доказали, что плохое поведение метода наискорейшего спуска связано с оптимальным выбором Коши размера шага, а не с выбором направления поиска. Эти результаты распространены в [29] на выпуклые хорошо обусловленные функции.Далее, в [29] показано, что простая модификация длины шага с помощью случайной величины, равномерно распределенной в \n\n\n0\n1\n\n\n, для сильно выпуклых функций представляет собой усовершенствование классического алгоритма градиентного спуска. А именно, в этой статье идея состоит в том, чтобы модифицировать метод градиентного спуска, введя релаксацию следующего вида:
\n
\n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\ n\nx\nk\n\n+\n\nθ\nk\n\n\nt\nk\n\n\nd\nk\n\n,\n\n(23)\nE23
\n
, где \n\n\nθ\nk\n\n\n — параметр релаксации, случайная величина, равномерно распределенная между \n\n0\n\n и \n\n1\n\n.
\n
В последние годы метод наискорейшего спуска применяется во многих областях науки; можно вдохновиться, например, [37, 38, 39, 40, 41, 42, 43].
\n\n\n
2.2 Градиентный метод Барзилаи и Борвейна
\n
Напоминаем, что \n\nSD\n\n метод плохо работает, сходится линейно и на него сильно влияет плохая обусловленность.
\n
Также напомним, что такое плохое поведение метода \n\nSD\n\n связано с оптимальным выбором размера шага, а не с выбором направления наискорейшего спуска \n\n−\ п\нг\нк\n\n\n.
\n
Барзилай и Борвейн представили [44] двухточечный метод градиента размера шага, который хорошо известен как метод \n\nBB\n\n.
\n
Размер шага получен из двухточечной аппроксимации уравнения секущей.
\n
Рассмотрим форму итерации градиента:
\n
\n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nx\nk\n\n−\n\nt \nk\n\n\ng\nk\n\n.\n\n
\n
Можно переписать как \n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\ n\nx\nk\n\n−\n\nD\nk\n\n\ng\nk\n\n,\n\n, где \n\n\nD\nk\n\n=\n\ нт\нк\n\nI\n\n.
\n
Чтобы сделать матрицу \n\n\nD\nk\n\n\n квазиньютоновской, размер шага \n\n\nt\nk\n\n\n вычисляется в такой таким образом мы получаем
\n
\n\nmin\n∥\n\ns\n\nk\n−\n1\n\n\n−\n\nD\nk\n\n\ny\n\ nk\n−\n1\n\n\n∥\n.\n\n
\n
Это дает, что
\n
\n\n\nt\nk\n\nBB\n1\n\n\ n=\n\n\n\ns\n\nk\n−\n1\n\nT\n\n\ny\n\nk\n−\n1\n\n\n\n\n\ny \n\nk\n−\n1\n\nT\n\n\ny\n\nk\n−\n1\n\n\n\n\n,\n\ns\n\nk\n− \n1\n\n\n=\n\nx\nk\n\n−\n\nx\n\nk\n−\n1\n\n\n,\n\ny\n\nk\n −\n1\n\n\n=\n\ng\nk\n\n−\n\ng\n\nk\n−\n1\n\n\n.\n\n(24)\nE24
\n
Но, используя симметрию, мы можем минимизировать \n\n∥\n\nD\nk\n\n−\n1\n\n\n\ns\n\ nk\n−\n1\n\n\n−\n\ny\n\nk\n−\n1\n\n\n∥\n\n относительно \n\n\nt\nk\ n\n\n, и получаем:
\n
\n\n\nt\nk\n\nBB\n2\n\n\n=\n\n\n∥\n\ns\n\nk \n−\n1\n\n\n\n∥\n2\n\n\n\n\ns\n\nk\n−\n1\n\nT\n\n\ny\n\nk\ n−\n1\n\n\n\n\n,\n\ns\n\nk\n−\n1\n\n\n=\n\nx\nk\n\n−\n\nx \n\nk\n−\n1\n\n\n,\n\ny\n\nk\n−\n1\n\n\n=\n\ng\nk\n\n−\n\ ng\n\nk\n−\n1\n\n\n.\n\n(25)\nE25
\n
Теперь приведем алгоритм метода \n\nBB\n\n.
\n
Алгоритм 1.2.5. (градиентный метод Барзилаи-Борвейна, т. е. метод \n\nBB\n\n ).
\n
Предположения: \n\n0\n<\nϵ\n≪\n1\n\n, \n\n\nx\n0\n\n∈\n\nR\nn\n\n\ н. Пусть \n\nk\n=\n0\n\n.
\n
Шаг 1. Если \n\n∥\n\ng\nk\n\n∥\n≤\nϵ\n\n, то СТОП, иначе установить \n\n\nd\nk\n\ n=\n−\n\ng\nk\n\n\n.
\n
Шаг 2. Если \n\nk\n=\n0\n\n, то найти размер шага \n\n\nt\n0\n\n\n поиском по строке, иначе вычислить \n \n\nt\nk\n\n\n по формуле (24) или (25).
\n
Шаг 3. Установить \n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nx\nk\n\n+\n\nt\nk\n\n\ п\нк\n\n\n.
\n
Шаг 4. Установить \n\nk\n≔\nk\n+\n1\n\n и перейти к шагу 1.
\n
Учитывая алгоритм 1.2.5, можно сделать вывод, что данный метод не требует любое матричное вычисление или любой поиск строки.
\n
Метод Барзилаи-Борвейна фактически является градиентным методом, который требует меньше вычислительной работы, чем метод \n\nSD\n\n, и ускоряет сходимость градиентного метода. Барзилай и Борвейн доказали, что алгоритм \n\nBB\n\n является \n\nR\n−\n\nсуперлинейно сходящимся для квадратичного случая.
\n
В общем неквадратичном случае в этом методе применяется стратегия глобализации, основанная на немонотонном линейном поиске.
\n
В этом общем случае \n\n\nt\nk\n\n\n, вычисленное по (24) или (25), может быть неприемлемо большим или маленьким. Вот почему мы предполагаем, что существуют числа \n\n\nt\nl\n\n\n и \n\n\nt\nr\n\n\n, такие что
\n
\n \n0\n<\n\nt\nl\n\n≤\n\nt\nk\n\n≤\n\nt\nr\n\n,\nfor\n\nall\n\nk\n .\n\n
\n
Используя итерацию
\n
\n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nx\nk\n\n−\n \n1\n\nt\nk\n\n\n\ng\nk\n\n=\n\nx\nk\n\n−\n\nλ\nk\n\n\ng\nk\n \n,\n\n(26)\nE26
\n
с
\n
\n\n\nt\nk\n\n=\n\n\n\ns\n\nk\n−\ n1\n\nT\n\n\ny\n\nk\n−\n1\n\n\n\n\n\ns\n\nk\n−\n1\n\nT\n\n\ ns\n\nk\n−\n1\n\n\n\n\n,\n\nλ\nk\n\n=\n\n1\n\nt\nk\n\n\n,\ n\n
\n
\n\n\ns\nk\n\n=\n−\n\n1\n\nt\nk\n\n\n\ng\nk\n\n=\n −\n\nλ\nk\n\n\ng\nk\n\n,\n\n
\n
получаем
\n
\n\n\nt\n\nk\n+\n1\n \n\n=\n\n\n\ns\nk\nT\n\n\ny\nk\n\n\n\n\ns\nk\nT\n\n\ns\nk\n\ n\n\n=\n\n\n−\n\nλ\nk\n\n\ng\nk\nT\n\n\ny\nk\n\n\n\n\nλ\nk\ n2\n\n\ng\nk\nT\n\n\ng\nk\n\n\n\n=\n−\n\n\n\ng\nk\nT\n\n\ny\ nk\n\n\n\n\nλ\nk\n\n\ng\nk\nT\n\n\ng\nk\n\n\n\n.\n\n
\n
Теперь приведем алгоритм метода Барзилаи-Борвейна с немонотонным поиском строки.
\n
Алгоритм 1.2.6. ( \n\nBB\n\n метод с немонотонным поиском строк).
\n
Предположения: \n\n0\n<\nϵ\n≪\n1\n\n, \n\n\nx\n0\n\n∈\n\nR\nn\n\n\ n, \n\nM\n≥\n0\n\n — целое число, \n\nρ\n∈\n\n0\n1\n\n\n, \n\nδ\n>\n0\n \n, \n\n0\n<\n\nσ\n1\n\n<\n\nσ\n2\n\n<\n1\n\n, \n\n\nt\nl\n\ n\n, \n\n\nt\nr\n\n\n. Пусть \n\nk\n=\n0\n\n.
\n
Шаг 1. Если \n\n∥\n\ng\nk\n\n∥\n≤\nϵ\n\n, то СТОП.
\n
Шаг 2. Если \n\n\nt\nk\n\n≤\n\nt\nl\n\n\n или \n\n\nt\nk\n\n≥\n \nt\nr\n\n\n, затем установите \n\n\nt\nk\n\n=\nδ\n\n.
\n
Шаг 3. Установить \n\nλ\n=\n\n1\n\nt\nk\n\n\n\n.
\n
Шаг 4. (немонотонный поиск строки) If
\n
\n\nf\n\n\n\nx\nk\n\n−\nλ\n\ng\nk\n\n \n\n≤\n\nmax\n\n0\n≤\nj\n≤\nmin\n\nk\nM\n\n\n\nf\n\n\nx\n\nk\n− \nj\n\n\n\n−\nρλ\n\ng\nk\nT\n\n\ng\nk\n\n,\n\n
\n
затем установите
\n
\n \n\nλ\nk\n\n=\nλ\n,\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nx\nk\n\n−\n\nλ \nk\n\n\ng\nk\n\n,\n\n
\n
и перейдите к шагу 6.
\n
Шаг 5. Выбираем \n\nσ\n∈\n\n\nσ\n1\n\n\nσ\n2\n\n\n\n, устанавливаем \n\nλ\n=\nσλ \n\n и перейдите к шагу 4.
\n
Шаг 6. Установите \n\n\nt\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n−\n\n\n\ ng\nk\nT\n\n\ny\nk\n\n\n\n\nλ\nk\n\n\ng\nk\nT\n\n\ng\nk\n\n\n\ n\n и \n\nk\n≔\nk\n+\n1\n\n, и вернуться к шагу 1.
\n
Очевидно, приведенный выше алгоритм является глобально сходящимся.
\n
Ряд авторов обратили внимание на метод Барзилаи-Борвейна и предложили несколько вариантов этого метода.
\n
В [8] предложен глобально сходящийся метод Барзилаи-Борвейна с использованием немонотонного линейного поиска Grippo et al.[12]. В той же статье Райдан доказывает глобальную сходимость немонотонного метода Барзилаи-Борвейна.
\n
Далее, Grippo и Sciandrone [45] предлагают другой тип немонотонного метода Барзилаи-Борвейна.
\n
Дай [7] дает базовый анализ стратегии поиска немонотонной линии.
\n
Кроме того, в [46] представлены численные результаты с использованием
\n
\n\n\nt\nk\n\n=\n\n\n\ns\n\nν\n\nk\ n\n\nT\n\n\ny\n\nν\n\nk\n\n\n\n\n\n\ns\n\nν\n\nk\n\n\nT\n\ n\ns\n\nν\n\nk\n\n\n\n\n\n.\n\n(27)\nE27
\n
и
\n
\n\nν\n\nk\n\n=\n\nM\nc\n\n⋅\n⌞\n\n\ nk\n−\n1\n\n\nM\nc\n\n\n⌟\n,\n\n
\n
где для \n\nr\n∈\nR\n\n, \n \n⌞\nr\n⌟\n\n обозначает наибольшее целое число \n\nj\n\n такое, что \n\nj\n≤\nr\n\n и Mc является положительным целым числом. Градиентный метод с (27) называется циклическим методом Барзилаи-Борвейна. Численные результаты в [46] доказывают, что их метод работает лучше, чем метод Барзилаи-Борвейна.
\n
Многие исследователи изучают градиентный метод минимизации строго выпуклой квадратичной функции, а именно
\n
\n\nmin\nf\n\nx\n\n=\n\n1\n2\n\n\ nx\nT\n\nAx\n−\n\nb\nT\n\nx\n,\n\n(28)\nE28
\n
, где \n\nA\n∈\n\nR\n \nn\n×\nn\n\n\n\n — симметричная положительно определенная матрица, а \n\nb\n∈\n\nR\nn\n\n\n — заданный вектор.Для применения метода Барзилаи-Борвейна к задаче (28) Райдан [47] устанавливает глобальную сходимость, а Дай и Ляо [48] доказывают \n\nR\n\n-линейную скорость сходимости. Фридлендер, Мартинес, Молина и Райдан [49] предлагают новый градиентный метод с запаздываниями, в котором \n\n\nt\nk\n\n\n определяется как
\n
\n\n\nt\nk \n\n=\n\n\n\ng\n\nν\n\nk\n\n\nT\n\n\nA\n\nρ\n\nk\n\n+\n1\n\ n\n\ng\n\nν\n\nk\n\n\n\n\n\n\ng\n\nν\n\nk\n\n\nT\n\n\nA\n\ nρ\n\nk\n\n\n\n\ng\n\nν\n\nk\n\n\n\n\n\n,\nν\n\nk\n\n∈\n\ nk\n\nk\n−\n1\n\n…\n\nmax\n\n0\n\nk\n−\nm\n\n\n\n\n\n(29)\nE29
\n
и \n\nρ\n\nk\n\n∈\n\n\nq\n1\n\n…\n\nq\nm\n\n\n\n, где \n\nm \n\n — натуральное число, а \n\n\nq\n1\n\n,\n…\n,\n\nq\nm\n\n≥\n−\n2\n\n — целые числа .В этой же работе установлена ее глобальная сходимость для задачи (28) и доказана \n\nQ\n\n-суперлинейная скорость сходимости в частном случае.
\n
В [50] авторы расширяют метод Барзилаи-Борвейна и дают расширенный метод Барзилаи-Борвейна , который они обозначают \n\nEBB\n\n. Они также устанавливают глобальные и \n\nQ\n−\n\nсверхлинейные свойства сходимости предложенного метода минимизации строго выпуклой квадратичной функции. Кроме того, они обсуждают применение своего метода к общим целевым функциям.В [50] предлагается новый размер шага путем расширения (29). А именно, в этой статье, вслед за Friedlander et al. В [49] предлагается новый размер шага:
\n
\n\n\n\n\n\nt\nk\n\n=\n\n∑\n\ni\n=\n1 \n\nl\n\n\n\nϕ\ni\n\n\n\n\ng\n\nν\n\ni\n\nk\n\n\n\nT\n\n\nA \n\n\nρ\ni\n\n\nk\n\n+\n1\n\n\n\ng\n\n\nν\ni\n\n\nk\n\n\n\n \n\n\ng\n\nν\n\ni\n\nk\n\n\n\nT\n\n\nA\n\n\nρ\ni\n\n\nk\n\n \n\n\ng\n\n\nν\ni\n\n\nk\n\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n\nϕ\ni\n\ n≥\n0\n,\n\n∑\n\ni\n=\n1\n\nn\n\n\nϕ\ni\n\n=\n1\n,\n\n\n\ n\n\nν\ni\n\n\nk\n\n∈\n\nk\n\nk\n−\n1\n\n…\n\nmax\n\n\n0\n\nk\n −\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n
\n
и
\n
\n\n\nϕ\ni\n\n\nk\n\n∈\ n\n\nq\n1\n\n…\n\nq\nm\n\n\n,\n\n
\n
, где \n\nl\n\n и \n\nm\n\ n — положительные целые числа, а \n\n\nq\n1\n\n,\n…\n,\n\nq\nm\n\n\n — целые числа.
\n
Также рассматривается применение алгоритма \n\nEBB\n\n к общим задачам безусловной минимизации (4).
\n
Следуя Райдану [8], авторы [50] дополнительно комбинируют немонотонный линейный поиск и алгоритм \n\nEBB\n\n, чтобы получить алгоритм, названный \n\nNEBB\n\n. Они также доказывают глобальную сходимость алгоритма \n\nNEBB\n\n при некоторых классических предположениях.
\n
Метод Барзилай-Борвейна и связанные с ним методы рассмотрены Даем и Юаном [51] и Флетчером [52].
\n
В [53] введено новое понятие приближенного оптимального размера шага градиентного метода, которое используется для интерпретации метода \n\nBB\n\n; представлен эффективный градиентный метод с приблизительным оптимальным размером шага для безусловной оптимизации. Следующее определение введено в [53].
\n
Определение 1.2.1. Пусть \n\nΦ\n\nt\n\n\n будет приближенной моделью \n\nf\n\n\n\nx\nk\n\n−\n\ntg\nk \n\n\n\n\n . Положительная константа \n\n\nt\n∗\n\n\n называется приблизительным оптимальным размером шага, связанным с \n\nΦ\n\nt\n\n\n для градиентного метода, если \n\n\n\nt\n∗\n\n\n удовлетворяет
\n\n\nt\n∗\n\n=\narg\n\n\n\nmin\n\n \nt\n>\n0\n\n\n\nΦ\n\nt\n\n.\n\n
\n
Приблизительный оптимальный размер шага отличается от размера шага наискорейшего спуска, что приведет к большим вычислительным затратам. Приблизительный оптимальный размер шага обычно легко вычисляется, и его можно применять для оптимизации без ограничений.
\n
Благодаря эффективности \n\n\nt\nk\n\nBB\n1\n\n\n\n и тому факту, что \n\n\nt\nk\n\nBB\n1\ n\n\n=\narg\n\n\nmin\n\nt\n>\n0\n\n\nΦ\n\nt\n\n,\n\n мы можем, естественно, спросить, есть ли более подходящее приближение модели могут быть построены для создания более эффективных приближенных оптимальных размеров шага.
\n
Это и есть цель работы [53]. Далее, если целевая функция \n\nf\n\nx\n\n\n не близка к квадратичной функции на отрезке между \n\n\nx\n\nk\n−\n1\n\ n\n\n и \n\n\nx\nk\n\n\n, в этой статье разработана коническая модель для получения приблизительного оптимального размера шага, если коническая модель подходит для использования. В противном случае авторы рассматривают два случая:
Если \n\n\ns\n\nk\n−\n1\n\nT\n\n\ny\n\nk\n−\n1\n\ n\n>\n0\n\n, авторы строят новую квадратичную модель, чтобы получить приблизительный оптимальный размер шага.
Если \n\n\ns\n\nk\n−\n1\n\nT\n\n\ny\n\nk\n−\n1\n\n\n≤\n0\n \n, они строят новую квадратичную модель или две другие новые модели аппроксимации, чтобы получить приблизительный оптимальный размер шага для градиентного метода. Они также анализируют сходимость предлагаемого метода при некоторых подходящих условиях. Численные результаты показывают, что предложенный метод лучше, чем метод BB.
\n
В [54] представлена итерационная схема без производных, использующая вектор невязки в качестве направления поиска для решения крупномасштабных систем нелинейных монотонных уравнений.
\n
Широко используется метод Барзилай-Борвейна; некоторые интересные результаты можно найти в [55, 56, 57].
\n\n\n
2.3 Метод Ньютона
\n
Основная идея метода Ньютона для безусловной оптимизации заключается в итеративном использовании квадратичной аппроксимации \n\n\nq\n\nk\n\n\n\n к целевой функции \n\nf\n\n на текущей итерации \n\n\nx\nk\n\n\n и затем минимизации такой аппроксимации \n\n\nq\n\nk\n\n \n\n.
\n
Пусть \n\nf\n:\n\nR\nn\n\n→\nR\n\n дважды непрерывно дифференцируемы, \n\n\nx\nk\n\n∈\n\ nR\nn\n\n\n, и пусть гессиан \n\n\n∇\n2\n\nf\n\n\nx\nk\n\n\n\n положительно определен.
\n
Мы моделируем \n\nf\n\n в текущей точке \n\n\nx\nk\n\n\n с помощью квадратичного приближения \n\n\nq\n\nk\n\n \n\n:
\n
\n\nf\n\n\n\nx\nk\n\n+\ns\n\n\n≈\n\nq\n\nk\n\n\n \ns\n\n=\nf\n\n\nx\nk\n\n\n+\n∇\nf\n\n\n\nx\nk\n\n\nT\n\ns\n+ \n\n1\n2\n\n\ns\nT\n\n\n∇\n2\n\nf\n\n\nx\nk\n\n\ns\n,\ns\n=\ nx\n−\n\nx\nk\n\n.\n\n
\n
Минимизация \n\n\nq\n\nk\n\n\n\n\ns\n\n\n дает следующая итерационная схема:
\n
\n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nx\nk\n\n−\n\n\n\n\ n∇\n2\n\nf\n\n\nx\nk\n\n\n\n\n\n−\n1\n\n\n∇\nf\n\n\nx\nk\n \n\n,\n\n
\n
, известная как формула Ньютона.
\n
Обозначим \n\n\nG\nk\n\n=\n\n∇\n2\n\nf\n\n\nx\nk\n\n\n\n, \n\n \ng\nk\n\n=\n∇\nf\n\n\nx\nk\n\n\n\n.
\n
Тогда имеем более простую форму:
\n
\n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nx\nk\n\n−\n \nG\nk\n\n−\n1\n\n\n\ng\nk\n\n.\n\n(30)\nE30
\n
A Ньютон направление равно
\n
\ n\n\ns\nk\n\n=\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n−\n\nx\nk\n\n=\n−\n\nG\ nk\n\n−\n1\n\n\n\ng\nk\n\n.\n\n(31)\nE31
\n
Мы предположили, что \n\n\nG\nk\n \n\n положительно определен. Итак, направление Ньютона — это направление спуска.Это мы можем заключить из
\n
\n\n\ng\nk\nT\n\n\ns\nk\n\n=\n−\n\ng\nk\nT\n\n\nG\ nk\n\n−\n1\n\n\n\ng\nk\n\n<\n0\n.\n\n
\n
Теперь приведем алгоритм метода Ньютона.
\n
Алгоритм 1.2.7. (метод Ньютона).
\n
Предположения: \n\nϵ\n>\n0\n\n, \n\n\nx\n0\n\n∈\n\nR\nn\n\n\n. Пусть \n\nk\n=\n0\n\n.
\n
Шаг 1. Если \n\n∥\n\ng\nk\n\n∥\n≤\nϵ\n\n, то СТОП.
\n
Шаг 2. Решите \n\n\nG\nk\n\ns\n=\n−\n\ng\nk\n\n\n для \n\n\ns\nk\n\ н\н.
\n
Шаг 3. Установить \n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nx\nk\n\n+\n\ns\nk\n\n\ н.
\n
Шаг 4. \n\nk\n≔\nk\n+\n1\n\n, вернуться к шагу 1.
\n
Следующая теорема показывает локальную сходимость и скорость квадратичной сходимости метода Ньютона.
\n
Теорема 1.2.3. [27] (Теорема о сходимости метода Ньютона) Пусть \n\nf\n∈\n\nC\n2\n\n\n и \n\n\nx\nk\n\n\n быть достаточно близко к решению \n\n\nx\n∗\n\n\n задачи минимизации с \n\ng\n\n\nx\n∗\n\n\n= \n0\n\n .Если гессиан \n\nG\n\n\nx\n∗\n\n\n\n положительно определен и \n\nG\n\nx\n\n\n удовлетворяет условию Липшица
\n\n∣\n\nG\nij\n\n\nx\n\n−\n\nG\nij\n\n\ny\n\n∣\n≤\nβ\n∥\ nx\n−\ny\n∥\n,\nдля некоторых\n\nβ\n,\nдля\n\nвсех\n\ni\n,\nj\n,\n\n
\n
, где \ n\n\nG\nij\n\n\nx\n\n\n — это \n\n\ni\nj\n\n\n элемент \n\nG\n\nx\n\n\ n и тогда для всех \n\nk\n\n ньютоновское направление (31) корректно определено; сгенерированная последовательность \n\n\n\nx\nk\n\n\n\n сходится к \n\n\nx\n∗\n\n\n с квадратичной скоростью.
\n
Но, несмотря на эту квадратичную скорость, метод Ньютона является локальным методом: когда начальная точка находится далеко от решения, есть вероятность, что \n\n\nG\nk\n\n\ n не является положительно определенным, как и направление Ньютона не является направлением спуска.
\n
Итак, чтобы гарантировать глобальную сходимость, мы можем использовать метод Ньютона с линейным поиском. Напомним, что только когда последовательность размеров шагов \n\n\n\nt\nk\n\n\n\n стремится к 1, метод Ньютона сходится с квадратичной скоростью.
\n
Итерация Ньютона с поиском строки выглядит следующим образом:
\n
\n\n\nd\nk\n\n=\n−\n\nG\nk\n\n−\n1\n\n \n\ng\nk\n\n,\n\n(32)\nE32
\n
\n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nx\ nk\n\n+\n\nt\nk\n\n\nd\nk\n\n.\n\n(33)\nE33
\n
Теперь приведем алгоритм.
\n
Алгоритм 1.2.8. (метод Ньютона с поиском строки).
\n
Предположения: \n\nϵ\n>\n0\n\n, \n\n\nx\n0\n\n∈\n\nR\nn\n\n\n. Пусть \n\nk\n=\n0\n\n.
\n
Шаг 1. Если \n\n∥\n\ng\nk\n\n∥\n≤\nϵ\n\n, то СТОП.
\n
Шаг 2. Решите \n\n\nG\nk\n\nd\n=\n−\n\ng\nk\n\n\n для \n\n\nd\nk\n\ н\н.
\n
Шаг 3. Шаг поиска строки: найти \n\n\nt\nk\n\n\n такое, что
\n
\n\nf\n\n\n\nx\nk\n\n+ \n\nt\nk\n\n\nd\nk\n\n\n\n=\n\nmin\n\nt\n≥\n0\n\n\nf\n\n\n\nx \nk\n\n+\n\ntd\nk\n\n\n\n,\n\n
\n
или найти \n\n\nt\nk\n\n\n такое, что (неточно) Правила поиска по линии Вульфа сохраняются.
\n
Шаг 4. Установить \n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nx\nk\n\n+\n\nt\nk\n\n\ nd\nk\n\n\n и \n\nk\n=\nk\n+\n1\n\n и перейдите к шагу 1.
\n
Следующие теоремы утверждают, что алгоритм 1.2.8 с точным поиском строки, а также алгоритм 1.2.8 с неточным поиском строки глобально сходятся.
\n
Теорема 1.2.4. [27] Пусть \n\nf\n:\n\nR\nn\n\n→\nR\n\n дважды непрерывно дифференцируемо на открытом выпуклом множестве \n\nD\n⊂\n \nR\nn\n\n\n . Предположим, что для любого \n\n\nx\n0\n\n∈\nD\n\n существует константа \n\nm\n>\n0\n\n такая, что \n \nf\n\nx\n\n\n удовлетворяет
\n\n\nu\nT\n\n\n∇\n2\n\nf\n\nx\n\nu\n≥\ nm\n∥\nu\n\n∥\n2\n\n,\nдля\n\nall\n\nu\n∈\n\nR\nn\n\n,\nx\n∈\nL\ n\n\nx\n0\n\n\n,\n\n(34)\nE34
\n
, где \n\nL\n\n\nx\n0\n\n\n=\n\ nx\n\nf\n\nx\n\n≤\nf\n\n\nx\n0\n\n\n\n\n\n — соответствующее множество уровней.Тогда последовательность \n\n\n\nx\nk\n\n\n\n, сгенерированная алгоритмом 1.2.8 с точным поиском строки, удовлетворяет:
Когда \n\n\n\ nx\nk\n\n\n\n — конечная последовательность, \n\n\ng\nk\n\n=\n0\n\n для некоторого \n\nk\n\n.
Когда \n\n\n\nx\nk\n\n\n\n является бесконечной последовательностью, \n\n\n\nx\nk\n\n\n\n сходится к единственному минимизатор \n\n\nx\n∗\n\n\n из \n\nf\n\n.
\n
Обратите внимание, что следующее соотношение выполняется из стандартного поиска строки Вульфа:
\n
\n\nf\n\n\nx\nk\n\n\n−\nf\n\n\n \nx\nk\n\n+\n\nt\nk\n\n\nd\nk\n\n\n\n≥\n\nη\n¯\n\n∥\n\ng\nk\ n\n\n∥\n2\n\n\ncos\n2\n\n∠\n\n\nd\nk\n\n\n−\n\ng\nk\n\n\n\n ,\n\n(35)\nE35
\n
где постоянная \n\n\nη\n¯\n\n\n не зависит от \n\nk\n\n.
\n
Теорема 1.2.5. [27] Пусть \n\nf\n:\n\nR\nn\n\n→\nR\n\n дважды непрерывно дифференцируемо на открытом выпуклом множестве \n\nD\n⊂\n \nR\nn\n\n\n . Предположим, что для любого \n\n\nx\n0\n\n∈\nD\n\n существует константа \n\nm\n>\n0\n\n такая, что \n \nf\n\nx\n\n\n удовлетворяет соотношению (34) на множестве уровней \n\nL\n\n\nx\n0\n\n\n\n . Если поиск строки удовлетворяет соотношению (35) , то последовательность \n\n\n\nx\nk\n\n\n\n , сгенерированная Алгоритмом 1.2.8, с неточным поиском строки Вульфа, удовлетворяет
\n\n\nlim\n\nk\n→\n∞\n\n\n∥\n\ng\nk\n\n∥\n= \n0\n\n
\n
и \n\n\n\nx\nk\n\n\n\n сходится к единственному минимизатору \n\nf\n\nx\n\n\n.
\n\n\n
2.4 Модифицированный метод Ньютона
\n
Основной проблемой метода Ньютона может быть тот факт, что гессиан \n\n\nG\nk\n\n\n может быть не положительно определенным. В этом случае мы не уверены, что у целевой функции \n\nf\n\n есть минимизаторы; кроме того, когда \n\n\nG\nk\n\n\n неопределенно, целевая функция \n\nf\n\n неограничена.
\n
Итак, сделано много модифицированных схем. Теперь мы кратко опишем следующие два метода.
\n
В [58] Гольдштейн и Прайс используют метод наискорейшего спуска, когда \n\n\nG\nk\n\n\n не является положительно определенным. Обозначая угол между \n\n\nd\nk\n\n\n и \n\n−\n\ng\nk\n\n\n через \n\nθ\n\n, а также имея с учетом правила углов, \n\nθ\n≤\n\nπ\n2\n\n−\nμ\n\n, где \n\nμ\n>\n0\n\n, они определяют направление \n\n\nd\nk\n\n\n как
\n
\n\n\nd\nk\n\n=\n\n\n\n\n−\n\nG\nk\ n\n−\n1\n\n\n\ng\nk\n\n,\n\nif\n\ncos\nθ\n≥\nη\n,\n\n\n\n\n− \n\ng\nk\n\n,\n\nиначе\n,\n\n\n\n\n\n
\n
где \n\nη\n>\n0\n\n — задана постоянная.
\n
В [59] авторы представляют другой модифицированный метод Ньютона. Когда \n\n\nG\nk\n\n\n не является положительно определенным, гессиан \n\n\nG\nk\n\n\n заменяется на \n\n\nG\nk\n\n+ \n\nν\nk\n\nI\n\n, где \n\n\nν\nk\n\n>\n0\n\n выбрано так, что \n\n\nG\nk \n\n+\n\nν\nk\n\nI\n\n положительно определена и хорошо обусловлена. В противном случае, когда \n\n\nG\nk\n\n\n положительно определена, \n\n\nν\nk\n\n=\n0\n\n.
\n
Рассмотреть другие модифицированные методы Ньютона, такие как метод конечных разностей Ньютона, метод отрицательного направления кривизны, устойчивый метод Гилла-Мюррея и т. д., можно увидеть, например, [27].
\n\n\n
2.5 Неточный метод Ньютона
\n
С другой стороны, из-за высокой стоимости точного метода Ньютона, особенно когда размерность \n\nn\n\n велика, неточный метод Ньютона метод может быть хорошим решением. Этот тип метода означает, что мы только приблизительно решаем уравнение Ньютона.
\n
Рассмотрим решение нелинейных уравнений:
\n
\n\nF\n\nx\n\n=\n0\n,\n\n(36)\nE36
\n
где \n\nF \n:\n\nR\nn\n\n→\n\nR\nn\n\n\n имеет следующие свойства:
\n
A ₁ Существует \n \n\nx\n∗\n\n\n такие, что \n\nF\n\n\nx\n∗\n\n\n=\n0\n\n.
\n
A ₂ \n\n\nF\n\n непрерывно дифференцируема в окрестности \n\n\nx\n∗\n\n\n.
\n
A ₃ \n\n\n\nF\n′\n\n\n\nx\n∗\n\n\n\n неособ.
\n
Напомним, что основной шаг Ньютона получается путем решения
\n
\n\n\nF\n′\n\n\n\nx\nk\n\n\n\ns\nk\n\ n=\n−\nF\n\n\nx\nk\n\n\n\n
\n
и настройка
\n
\n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\ n\n=\n\nx\nk\n\n+\n\ns\nk\n\n.\n\n
\n
Неточный метод Ньютона означает, что мы решаем
\n
\n\n\ nF\n′\n\n\n\nx\nk\n\n\n\ns\nk\n\n=\n−\nF\n\n\nx\nk\n\n\n+\n \nr\nk\n\n,\n\n(37)\nE37
\n
где
\n
\n\n∥\n\nr\nk\n\n∥\n≤\n\nη \nk\n\n∥\nF\n\n\nx\nk\n\n\n∥\n.\n\n(38)\nE38
\n
Установить
\n
\n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nx\nk\n\n+\ n\ns\nk\n\n.\n\n(39)\nE39
\n
Здесь \n\n\nr\nk\n\n\n обозначает невязку, а последовательность \n\n \n\nη\nk\n\n\n\n, где \n\n0\n<\n\nη\nk\n\n<\n1\n\n — последовательность, контролирующая неточность.
\n
Теперь приведем две теоремы; первый из них утверждает линейную сходимость, а второй утверждает сверхлинейную сходимость неточного метода Ньютона.
\n
Теорема 1.2.6. [27] Пусть \n\nF\n:\n\nR\nn\n\n→\n\nR\nn\n\n\n удовлетворяют предположениям \n\n\nA\n1 \n\n\n – \n\n\nA\n3\n\n\n . Пусть последовательность \n\n\n\nη\nk\n\n\n\n удовлетворяет \n\n0\n≤\n\nη\nk\n\n≤\nη\n<\nt \n<\n1\n\n . Тогда для некоторого \n\nϵ\n>\n0\n\n , если начальная точка находится достаточно близко к \n\n\nx\n∗\n\n\n , последовательность \n \n\n\nx\nk\n\n\n\n , полученное неточным методом Ньютона (37) – (39) сходится к \n\n\nx\n∗\n\n\ n , а скорость сходимости является линейной, т.е.е.
\n\n∥\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n−\n\nx\n∗\n\n\n∥\n∗\n\n≤\ nt\n∥\n\nx\nk\n\n−\n\nx\n∗\n\n\n∥\n∗\n\n,\n\n
\n
, где \n \n∥\ny\n\n∥\n∗\n\n=\n∥\n\nF\n′\n\n\n\nx\n∗\n\n\ny\n∥\n \н.
\n
Теорема 1.2.7. [27] Пусть выполнены все предположения теоремы 1.2.6. Предположим, что последовательность \n\n\n\nx\nk\n\n\n\n , сгенерированная неточным методом Ньютона, сходится к \n\n\nx\n∗\n\n\n . затем
\n\n∥\n\nr\nk\n\n∥\n=\no\n\n\n∥\nF\n\n\nx\nk\n\n\n∥\ n\n\n,\nk\n→\n∞\n,\n\n
\n
тогда и только тогда, когда \n\n\n\nx\nk\n\n\n\n сходится к \n\n\nx\n∗\n\n\n сверхлинейно .
\n
Отношение
\n
\n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nx\nk\n\n−\n\n\n\nf \n′\n\n\n\nx\nk\n\n\n\n\n\nf\n′\n\n\n\nx\nk\n\n\n−\n\nf\ n′\n\n\n\nx\n\nk\n−\n1\n\n\n\n\n\n⋅\n\n\n\nx\nk\n\n−\n\ nx\n\nk\n−\n1\n\n\n\n\n,\n\n(40)\nE40
\n
представляет метод секущих.
\n
В [60] представлена модификация классического метода секущих для решения задач нелинейной, одномерной и безусловной оптимизации, основанная на развитии кубического приближения. Получена итерационная формула, включающая аппроксимацию третьей производной \n\nf\n\nx\n\n\n с помощью разложения в ряд Тейлора.Основное предположение о целевой функции \n\nf\n\nx\n\n\n состоит в том, что \n\nf\n\nx\n\n\n является вещественной функцией одной действительной переменной \ n\nx\n\n и что \n\nf\n\nx\n\n\n имеет минимум в точке \n\n\nx\n∗\n\n\n. Кроме того, в этой главе отмечается, что метод секущих является упрощением метода Ньютона. Но порядок метода секущих ниже, чем у одного из методов Ньютона; он \n\nQ\n\n-суперлинейно сходится, и его порядок равен \n\np\n=\n\n\n\n5\n\n+\n1\n\n2\n\n≈\n1 ,618\n\n.
\n
Этот модифицированный метод секущих построен в [60] с учетом, как подчеркивается, возможности построения кубической функции, которая согласуется с \n\nf\n\nx\n\n\n до третьих производных. Третья производная целевой функции \n\nf\n\n аппроксимируется как
\n
\n\n\nf\n‴\n\n\nx\n\n=\n\n\n3\n \n\n\n\n2\n\n\n\nf\n′\n\n\n\nx\nk\n\n\n−\n\n\nf\n\n\nx\nk \n\n\n−\nf\n\n\nx\n\nk\n−\n1\n\n\n\n\n\n\nx\nk\n\n−\n\nx\ n\nk\n−\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\nk\n\n−\n\nx\n\nk\n−\n1\n \n\n\n\n−\n\nf\n″\n\n\n\nx\nk\n\n\n\n\n\n\n\nx\n\nk\n−\ n1\n\n\n−\n\nx\nk\n\n\n\n.\n\n
\n
В [61] авторы предлагают неточный ньютоновский метод условного градиента для решения систем нелинейных уравнений с ограничениями. Локальная сходимость нового метода, а также результаты о его скорости устанавливаются с помощью общего мажорантного условия.
\n\n\n
2.6 Квазиньютоновский метод
\n
Рассмотрим метод Ньютона.
\n
Для различных практических задач вычисление гессиана может быть очень дорогим или трудным, либо гессиан может быть недоступен аналитически.Таким образом, формируется класс так называемых квазиньютоновских методов, в которых используются только значения целевой функции и градиенты целевой функции, и он близок к методу Ньютона. Квазиньютоновский метод — это такой класс методов, который не вычисляет гессиан, но генерирует последовательность приближений гессиана и поддерживает высокую скорость сходимости.
\n
Итак, мы хотим построить аппроксимацию Гессе \n\n\nB\nk\n\n\n в квазиньютоновском методе. Естественно, желательно, чтобы последовательность \n\n\n\nB\nk\n\n\n\n обладала положительной определенностью, как и ее направление \n\n\nd\nk\n\n=\n −\n\nB\nk\n\n−\n1\n\n\n\ng\nk\n\n\n должен быть нисходящим.
\n
Теперь пусть \n\nf\n:\n\nR\nn\n\n→\nR\n\n — дважды непрерывно дифференцируемая функция на открытом множестве \n\nD\n⊂\n\ nR\nn\n\n\n. Рассмотрим квадратичное приближение \n\nf\n\n при \n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n\n:
\n
\n\nf\n\nx\ n\n≈\nf\n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n\n+\n\ng\n\nk\n+\n1\n\nT\n\n\n \nx\n−\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n\n\n+\n\n1\n2\n\n\n\n\nx\n−\n\nx \n\nk\n+\n1\n\n\n\n\nT\n\n\nG\n\nk\n+\n1\n\n\n\n\nx\n−\n\nx\ n\nk\n+\n1\n\n\n\n\n.\n\n
\n
Находя производные, получаем
\n
\n\ng\n\nx\n\n≈\ n\ng\n\nk\n+\n1\n\n\n+\n\nG\n\nk\n+\n1\n\n\n\n\nx\n−\n\nx\n\nk \n+\n1\n\n\n\n\n.\n\n
\n
Установка \n\nx\n=\n\nx\nk\n\n\n и использование стандартных обозначений: \n\n\ns\nk\n\n=\n\ nx\n\nk\n+\n1\n\n\n−\n\nx\nk\n\n\n, \n\n\ny\nk\n\n=\n\ng\n\nk \n+\n1\n\n\n−\n\ng\nk\n\n\n, из последнего соотношения получаем
\n
\n\n\nG\n\nk\n+\n1\ n\n\n−\n1\n\n\n\ny\nk\n\n≈\n\ns\nk\n\n.\n\n(41)\nE41
\n
Отношение (41 ) переходит в следующую, если \n\nf\n\n — квадратичная функция:
\n
\n\n\nG\n\nk\n+\n1\n\n\n−\n1\n\ n\n\ny\nk\n\n=\n\ns\nk\n\n.\n\n(42)\nE42
\n
Пусть \n\n\nH\nk\n\n\ n — приближение обратного гессиана.Затем мы хотим, чтобы \n\n\nH\nk\n\n\n удовлетворяло соотношению (42). Таким образом, мы приходим к условию квазиньютона или уравнению квазиньютона:
\n
\n\n\nH\n\nk\n+\n1\n\n\n\ny\nk\n\n =\n\ns\nk\n\n.\n\n(43)\nE43
\n
Пусть \n\n\nB\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\ nH\n\nk\n+\n1\n\n\n−\n1\n\n\n\n — приближение гессиана \n\n\nG\n\nk\n+\n1\n\n\ н\н. Тогда
\n
\n\n\nB\n\nk\n+\n1\n\n\n\ns\nk\n\n=\n\ny\nk\n\n\n(44)\ nE44
\n
также является уравнением квазиньютона.
\n
Если
\n
\n\n\ns\nk\nT\n\n\ny\nk\n\n>\n0\n,\n\n(45)\nE45
\n
тогда матрица \n\n\nB\n\nk\n+\n1\n\n\n\n положительно определена.Условие (45) известно как условие кривизны.
\n
Алгоритм 1.2.9. (Общий квазиньютоновский метод).
\n
Предположения: \n\n0\n≤\nϵ\n<\n1\n\n, \n\n\nx\n0\n\n∈\n\nR\nn\n\n\ n, \n\n\nH\n0\n\n∈\n\nR\n\nn\n×\nn\n\n\n\n. Пусть \n\nk\n=\n0\n\n.
\n
Шаг 1. Если \n\n∥\n\ng\nk\n\n∥\n≤\nϵ\n\n, то СТОП.
\n
Шаг 2. Вычислить \n\n\nd\nk\n\n=\n−\n\nH\nk\n\n\ng\nk\n\n\n.
\n
Шаг 3. Поиском строки найти \n\n\nt\nk\n\n\n и установить \n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n \nx\nk\n\n+\n\nt\nk\n\n\nd\nk\n\n\n.
\n
Шаг 4. Преобразование \n\n\nH\nk\n\n\n в \n\n\nH\n\nk\n+\n1\n\n\n\n таким образом, чтобы уравнение (43) выполнено.
\n
Шаг 5. Установить \n\nk\n=\nk\n+\n1\n\n и перейти к шагу 1.
\n
В алгоритме 1.2.9 обычно берется \n\n\nH \n0\n\n=\nI\n\n, где \n\nI\n\n — единичная матрица.
\n
Иногда вместо \n\n\nH\nk\n\n\n мы используем \n\n\nB\nk\n\n\n в алгоритме 1.2.9.
\n
Затем Шаг 2 становится
\n
Шаг \n\n\n2\n∗\n\n\n.Решите
\n
\n\n\nB\nk\n\nd\n=\n−\n\ng\nk\n\n,\nfor\n\n\nd\nk\n\n.\ n\n
\n
С другой стороны, Шаг 4 становится
\n
Шаг \n\n\n4\n∗\n\n\n. Преобразовать \n\n\nB\nk\n\n\n в \n\n\nB\n\nk\n+\n1\n\n\n\n таким образом, чтобы квазиньютоновское уравнение (44) держит.
\n\n\n
2.7 Обновление симметричного первого ранга (\n\nSR\n1\n\n)
\n
Пусть \n\n\nH\nk\n\n\n будет обратным гессианским приближением \n\nk\n\n-й итерации. Мы пытаемся обновить \n\n\nH\nk\n\n\n в \n\n\nH\n\nk\n+\n1\n\n\n\n, т.е.е.
\n
\n\n\nH\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nH\nk\n\n+\n\nE\nk\n\n,\n\n
\n
где \n\n\nE\nk\n\n\n — матрица более низкого ранга. Если речь идет об обновлении первого ранга, получаем
\n
\n\n\nH\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nH\nk\n\n+\n\ nuv\nT\n\n,\n\n(46)\nE46
\n
где \n\nu\n,\nv\n∈\n\nR\nn\n\n\n. Используя уравнение квазиньютона (43), мы можем получить
\n
\n\n\nH\n\nk\n+\n1\n\n\n\ny\nk\n\n=\n\n\ n\nH\nk\n\n+\n\nuv\nT\n\n\n\n\ny\nk\n\n=\n\ns\nk\n\n,\n\n
\n
откуда
\n
\n\n\n\n\nv\nT\n\n\ny\nk\n\n\n\nu\n=\n\ns\nk\n\n−\n \nH\nk\n\n\ny\nk\n\n.\n\n(47)\nE47
\n
Далее из (46) и (47) имеем
\n
\n\n\nH\n\nk\n+\n1\n\n\n =\n\nH\nk\n\n+\n\n1\n\n\nv\nT\n\n\ny\nk\n\n\n\n\n\n\ns\nk\n\ n−\n\nH\nk\n\n\ny\nk\n\n\n\n\nv\nT\n\n.\n\n
\n
Имея в виду, что обратное гессианское приближение \ n\n\nH\nk\n\n\n должен быть симметричным, мы используем \n\nv\n=\n\ns\nk\n\n−\n\nH\nk\n\n \ny\nk\n\n\n, поэтому мы получаем симметричное обновление первого ранга (т. е. \n\nSR\n1\n\n обновление):
\n
\n\n\nH\n\nk \n+\n1\n\n\n=\n\nH\nk\n\n+\n\n\n\n\n\ns\nk\n\n−\n\nH\nk\n\n \ny\nk\n\n\n\n\n\n\n\ns\nk\n\n−\n\nH\nk\n\n\ny\nk\n\n\n\nT\ n\n\n\n\n\n\n\ns\nk\n\n−\n\nH\nk\n\n\ny\nk\n\n\n\nT\n\n\ny \нк\n\n\n\n.\n\n(48)\nE48
\n
Теорема 1.2.8. [27] (Теорема о свойствах \n\nSR\n1\n\n Обновление ) Пусть \n\n\ns\n0\n\n\n , \n\n\ns\n1 \n\n\n и \n\n\ns\n\nn\n−\n1\n\n\n\n линейно независимы. Тогда для квадратичной функции с положительно определенным гессианом \n\nSR\n1\n\n метода заканчивается на \n\nn\n+\n1\n\n шагов, т.е. \n\n\ nH\nn\n\n=\n\nG\n\n−\n1\n\n\n\n.
\n
Дополнительную информацию об обновлении SR1 можно найти.
\n\n\n
2.8 Обновление Дэвидона-Флетчера-Пауэлла (\n\nDFP\n\n)
\n
Существует другой тип обновления, который является обновлением второго ранга. На самом деле, мы получаем \n\n\nH\n\nk\n+\n1\n\n\n\n, используя две симметричные матрицы первого ранга:
\n
\n\n\nH\n\nk \n+\n1\n\n\n=\n\nH\nk\n\n+\n\nauu\nT\n\n+\n\nbvv\nT\n\n,\n\n(49)\ nE49
\n
где \n\nu\n,\nv\n∈\n\nR\nn\n\n\n и \n\na\n,\nb\n\n — скаляры, которые должны быть определенный.
\n
Используя уравнение квазиньютона (43), мы можем получить
\n
\n\n\nH\nk\n\n\ny\nk\n\n+\n\nauu\nT\n\n \ny\nk\n\n+\n\nbvv\nT\n\n\ny\nk\n\n=\n\ns\nk\n\n.\n\n(50)\nE50
\n
Значения \n\nu\n,\nv\n\n не определяются однозначно, но лучше выбрать
\n
\n\nu \n=\n\ns\nk\n\n,\nv\n=\n\nH\nk\n\n\ny\nk\n\n.\n\n
\n
Теперь из ( 50), получаем:
\n
\n\na\n=\n\n1\n\n\ns\nk\nT\n\n\ny\nk\n\n\n\n,\nb \n=\n−\n\n1\n\n\ny\nk\nT\n\n\nH\nk\n\n\ny\nk\n\n\n\n.\n\n
\n
Отсюда получаем формулу
\n
\n\n\nH\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nH\nk\n\n+\n\n\n \ns\nk\n\n\ns\nk\nT\n\n\n\n\ns\nk\nT\n\n\ny\nk\n\n\n\n−\n\n\ n\nH\nk\n\n\ny\nk\n\n\ny\nk\nT\n\n\nH\nk\n\n\n\n\ny\nk\nT\n\n\ nH\nk\n\n\ny\nk\n\n\n\n,\n\n(51)\nE51
\n
, что является обновлением \n\nDFP\n\n.
\n
Теорема 1.2.9. [27] (Положительная определенность \n\nDFP\n\n update) \n\nDFP\n\n update (51) сохраняет положительную определенность тогда и только тогда, когда \n\n\ ns\nk\nT\n\n\ny\nk\n\n>\n0\n\n.
\n
Теорема 1.2.10. [27] (Теорема квадратичного завершения метода \n\nDFP\n\n ) Пусть \n\nf\n\nx\n\n\n — квадратичная функция с положительно определенным гессианом \n \nG\n\n . Тогда, если используется точный поиск строки, последовательность \n\n\n\ns\nj\n\n\n\n , сгенерированная из метода \n\nDFP\n\n , удовлетворяет, для \n\ni\n=\n0\n,\n1\n,\n…\n,\nm\n\n , где \n\nm\n≤\nn\n−\n1\n \n :
\n\n\n\n\nH\n\ni\n+\n1\n\n\n\ny\nj\n\n=\n\ns\nj\n \n,\nj\n=\n0\n,\n1\n,\n…\n,\ni\n\n \n\n\nнаследственное свойство\n\n\n.
\n\n\n\n\ns\ni\nT\n\n\nGs\nj\n\n=\n0\n,\nj\n=\n0\n,\n1\n ,\n…\n,\ni\n−\n1\n\n \n\n\nсвойство сопряженного направления \n\n\n.
\n\n\n\nМетод заканчивается\n\nat\n\nm\n+\n1\n≤\nn\n\nшагов\n.\n\nIf\n\nm\n=\ nn\n−\n1\n,\nтогда\n\n\nH\nn\n\n=\n\nG\n\n−\n1\n\n\n\n.
\n\n\n
2.9 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (\n\nBFGS\n\n) обновление
\n
\n\n\nBFGS\n\n обновление дается по формуле
\n
\n\n\nB\n\nk\n+\n1\n\nБФГС\n\n=\n\nB\nk\n\n+\n\n\n\ny\nk\n\n \ny\nk\nT\n\n\n\n\ny\nk\nT\n\n\ns\nk\n\n\n\n−\n\n\n\nB\nk\n\ n\ns\nk\n\n\ns\nk\nT\n\n\nB\nk\n\n\n\n\ns\nk\nT\n\n\nB\nk\n\n\ нс\нк\n\n\n\n.\n\n(52)\nE52
\n
Обновление \n\nBFGS\n\n также считается дополнением к обновлению \n\nDFP\n\n.
\n
В [62] представлен адаптивный масштабированный \n\nBFGS\n\n метод для безусловной оптимизации. В этой статье автор подчеркивает, что метод \n\nBFGS\n\n является одним из наиболее эффективных квазиньютоновских методов для решения задач безусловной оптимизации малого и среднего размера. Третий член в стандартной формуле обновления \n\nBFGS\n\n масштабируется, чтобы уменьшить большие собственные значения аппроксимации до гессиана минимизирующей функции.Фактически в [62] рассматривается общая формула масштабирования \n\nBFGS\n\n обновления:
\n
\n\n\nB\n\nk\n+\n1\n\n\n=\ n\nB\nk\n\n−\n\n\n\nB\nk\n\n\ns\nk\n\n\ns\nk\nT\n\n\nB\nk\n\n \n\n\ns\nk\nT\n\n\nB\nk\n\n\ns\nk\n\n\n\n+\n\nγ\nk\n\n\n\n\ny \nk\n\n\ny\nk\nT\n\n\n\n\ny\nk\nT\n\n\ns\nk\n\n\n\n,\n\n(53) \nE53
\n
где \n\n\nγ\nk\n\n\n — положительный параметр. Очевидно, используя \n\n\nγ\nk\n\n=\n1\n\n для всех \n\nk\n=\n0\n,\n1\n,\n…\n\n, мы получить стандартную формулу \n\nBFGS\n\n. Кстати, существует несколько процедур, созданных для выбора масштабирующего параметра \n\n\nγ\nk\n\n\n, например, см. [62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69] .Подход к определению параметров масштабирования условий обновления \n\nBFGS\n\n в [62] заключается в минимизации функции меры Берда и Ноцедала.
\n
А именно, в [70] была введена следующая функция:
\n
\n\nφ\n\nA\n\n=\ntr\n\nA\n\n−\nln\n\ n\ndet\n\nA\n\n\n\n,\n\n(54)\nE54
\n
, который определен на положительно определенных матрицах.
\n
Эта функция является мерой матриц, включающей все собственные значения \n\nA\n\n, а не только наименьшее и наибольшее, как это традиционно используется при анализе квазиньютоновского метода, основанного на от условного числа матриц.
\n
Заметим, что функция \n\nφ\n\n работает одновременно со следом и определителем, что упрощает анализ квазиньютоновских методов. Флетчер [71] доказывает, что эта функция строго выпукла на множестве симметричных и положительно определенных матриц и минимизируется при помощи \n\nA\n=\nI\n\n. Кроме того, эта функция становится неограниченной, когда \n\nA\n\n становится сингулярной или бесконечной, и поэтому она работает как барьерная функция, сохраняющая положительно определенную \n\nA\n\n. Стоит сказать, что обновление \n\nBFGS\n\n имеет тенденцию генерировать обновления с большими собственными значениями.
\n
Далее, в [62] рассматривается двухпараметрическое масштабирование \n\nBFGS\n\n update, в котором первые два слагаемых в правой части \n\nBFGS\n\n обновление (52) масштабируются с положительным параметром, а третье масштабируется с другим положительным параметром:
\n
\n\n\nB\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\ nδ\nk\n\n\n\n\n\nB\nk\n\n−\n\n\n\nB\nk\n\n\ns\nk\n\n\ns\nk\nT\n \n\nB\nk\n\n\n\n\ns\nk\nT\n\n\nB\nk\n\n\ns\nk\n\n\n\n\n\n+\n \nγ\nk\n\n\n\n\ny\nk\n\n\ny\nk\nT\n\n\n\n\ny\nk\nT\n\n\ns\nk\n \n\n\n,\n\n(55)\nE55
\n
где \n\n\nδ\nk\n\n\n и \n\n\nγ\nk\n\n\n два положительных параметра, которые необходимо определить.
\n
В [62] доказано следующее предложение.
\n
Предложение 1.2.1. Если размер шага \n\n\nt\nk\n\n\n определяется стандартным поиском линии Вульфа (12) и (13) , \n\n\nB\ nk\n\n\n положительно определено и \n\n\nγ\nk\n\n>\n0\n\n , а затем \n\n\nB\n\nk\n+\ n1\n\n\n\n , заданное как (55) , также является положительно определенным.
\n
Из (55) видно, что \n\nφ\n\n\nB\n\nk\n+\n1\n\n\n\n\n зависит от параметров масштабирования \n \n\nδ\nk\n\n\n и \n\n\nγ\nk\n\n\n.В [62] эти скейлинговые параметры определяются как решение задачи минимизации:
\n
\n\n\nmin\n\n\nδ\nk\n\n>\n0\n,\n\nγ\ nk\n\n>\n0\n\n\nφ\n\n\nB\n\nk\n+\n1\n\n\n\n.\n\n(56)\nE56
\n
Далее достигаются следующие значения параметров масштабирования \n\n\nδ\nk\n\n\n и \n\n\nγ\nk\n\n\n:
\n
\n\n\ nδ\nk\n\n=\n\n\nn\n−\n1\n\n\ntr\n\n\nB\nk\n\n\n−\n\n\n∥\n\ nB\nk\n\n\ns\nk\n\n\n∥\n2\n\n\n\n\ns\nk\nT\n\n\nB\nk\n\n\ns\nk \n\n\n\n\n\n\n(57)\nE57
\n
\n\n\nγ\nk\n\n=\n\n\n\ny\nk\nT\n \n\ns\nk\n\n\n\n∥\n\ny\nk\n\n\n∥\n2\n\n\n\n.\n\n(58)\nE58
\n
Рассмотрим соотношение
\n
\n\n\nx\n\nk\n+\n1\n\n\n=\n\nx\nk\n\ n+\n\nt\nk\n\n\nd\nk\n\n,\n\n(59)\nE59
\n
, где \n\n\nd\nk\n\n\n — \n\nБФГС\n\n направление поиска, полученное решением линейной алгебраической системы
\n
\n\n\nB\nk\n\n\nd\nk\n\n=\n−\n\ng \nk\n\n,\n\n
\n
где матрица \n\n\nB\nk\n\n\n является приближением \n\nBFGS\n\n к гессиану \n\n \n∇\n2\n\nf\n\n\nx\nk\n\n\n\n, обновляясь по классической формуле (52).
\n
Следующие теоремы также приведены в [62].
\n
Теорема 1.2.11. Если размер шага в (59) определяется условиями поиска Вульфа (12) – (13) , то параметры масштабирования, заданные (57) и (58) , равны уникальные глобальные решения задачи (56).
\n
Теорема 1.2.12. Пусть \n\n\nδ\nk\n\n\n вычисляется как (57) . Тогда для любых \n\nk\n=\n0\n,\n1\n,\n…\n\n , \n\n\nδ\nk\n\n\n положительно и близко к \n\n1\n\n.
\n
Далее в [72] с использованием цепного правила приводится модифицированное уравнение секущей, позволяющее получить более точную аппроксимацию второй кривизны целевой функции. Затем, на основе этого модифицированного уравнения секущих, представлен новый метод \n\nBFGS\n\n. Предлагаемый метод использует как значения градиента, так и значения функции, а также использует информацию из двух самых последних шагов, в то время как обычное отношение секущей использует только информацию о последнем шаге. При соответствующих условиях показано, что предлагаемый метод сходится в целом без предположения о выпуклости целевой функции.
\n
Некоторые интересные приложения методов Ньютона, модифицированного Ньютона, неточного Ньютона и квазиньютоновских методов можно найти, например, в [73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83] и др.
\n
Очень интересна статья [84].
\n
Интересное применение метода \n\nBFGS\n\n можно найти в [85].
\n\n
В соответствии с принципами прозрачности и передовой практикой научных публикаций ниже приведено более подробное описание рекламной политики IntechOpen.
1. IntechOpen сотрудничает со сторонними компаниями для показа рекламы и/или сбора определенной информации, когда вы посещаете наш веб-сайт. Эти компании могут собирать не идентифицирующую личность информацию (не включая ваше имя, адрес, адрес электронной почты или номер телефона) во время вашего посещения веб-сайта IntechOpen.
2. Вся реклама и публикации, спонсируемые на коммерческой основе, не зависят от решений редакции.
3. IntechOpen не поддерживает какие-либо продукты или услуги, отмеченные как реклама на веб-сайте IntechOpen.
4. Компания IntechOpen заблокировала все неприемлемые виды рекламы.
5. Компания IntechOpen заблокировала рекламу вредных продуктов или услуг.
6. Реклама и редакционный контент четко различимы.
7. Решения редакции не будут зависеть от текущих или потенциальных рекламодателей и не будут зависеть от маркетинговых решений.
8. Рекламодатели не контролируют и не влияют на результаты поиска, который пользователь может выполнять на веб-сайте по ключевому слову или поиску по теме.
9. Типы рекламы:
— реклама в разделах «Физические науки», «Техника и технологии», «Социальные и гуманитарные науки» на веб-сайте IntechOpen является алгоритмической (основанной на поведении пользователя, таком как посещенные веб-страницы, просмотренный контент и т. д.)
— Реклама в разделах «Науки о жизни» и «Науки о здоровье» на веб-сайте IntechOpen является программной, а также контекстной, основанной на содержании соответствующих книг и глав. eHealthcare Solutions (EHS), сторонний партнер IntechOpen, представляет собой уникальную маркетинговую платформу, которая специализируется на объединении нишевой аудитории с брендами в сфере здравоохранения.
10. Отдел продаж IntechOpen Advertising принимает решения о типах рекламы, которые следует включать или исключать. Размещение рекламы остается на усмотрение IntechOpen. IntechOpen оставляет за собой право отклонить и/или запросить изменения рекламы. Реклама, которая видна в Интернете, будет удалена с сайта в любое время, если Редактор(ы) или Автор(ы) потребуют ее удаления.
11. Пользователи могут принимать решения о приеме рекламы. Пользователи могут заблокировать всю рекламу с помощью блокировщиков рекламы.Пользователи могут отправлять все жалобы на рекламу по адресу: [email protected].
1. IntechOpen сотрудничает со сторонними компаниями для показа рекламы и/или сбора определенной информации, когда вы посещаете наш веб-сайт. Эти компании могут собирать не идентифицирующую личность информацию (не включая ваше имя, адрес, адрес электронной почты или номер телефона) во время вашего посещения веб-сайта IntechOpen.
2. Вся реклама и публикации, спонсируемые на коммерческой основе, не зависят от решений редакции.
3. IntechOpen не поддерживает какие-либо продукты или услуги, отмеченные как реклама на веб-сайте IntechOpen.
4. Компания IntechOpen заблокировала все неприемлемые виды рекламы.
5. Компания IntechOpen заблокировала рекламу вредных продуктов или услуг.
6. Реклама и редакционный контент четко различимы.
7. Решения редакции не будут зависеть от текущих или потенциальных рекламодателей и не будут зависеть от маркетинговых решений.
8. Рекламодатели не контролируют и не влияют на результаты поиска, который пользователь может выполнять на веб-сайте по ключевому слову или поиску по теме.
9. Типы рекламы:
— реклама в разделах «Физические науки», «Техника и технологии», «Социальные и гуманитарные науки» на веб-сайте IntechOpen является алгоритмической (основанной на поведении пользователя, таком как посещенные веб-страницы, просмотренный контент и т. д.)
— Реклама в разделах «Науки о жизни» и «Науки о здоровье» на веб-сайте IntechOpen является программной, а также контекстной, основанной на содержании соответствующих книг и глав.eHealthcare Solutions (EHS), сторонний партнер IntechOpen, представляет собой уникальную маркетинговую платформу, которая специализируется на объединении нишевой аудитории с брендами в сфере здравоохранения.
10. Отдел продаж IntechOpen Advertising принимает решения о типах рекламы, которые следует включать или исключать. Размещение рекламы остается на усмотрение IntechOpen. IntechOpen оставляет за собой право отклонить и/или запросить изменения рекламы. Реклама, которая видна в Интернете, будет удалена с сайта в любое время, если Редактор(ы) или Автор(ы) потребуют ее удаления.
11. Пользователи могут принимать решения о приеме рекламы. Пользователи могут заблокировать всю рекламу с помощью блокировщиков рекламы. Пользователи могут отправлять все жалобы на рекламу по адресу: [email protected].
Анализ и прогноз потенциального воздействия COVID-19 (2020–2022 гг.)
Ожидается, что мировой рынок цемента достигнет рекордной стоимости в 401,10 млрд долларов США в 2025 г., при среднегодовом темпе роста 5,10% в период с 2021 по 2025 гг. . Такие факторы, как растущий спрос со стороны строительной деятельности, более широкое внедрение зеленого цемента, расширение урбанизации и рост располагаемого дохода, вероятно, будут стимулировать рост рынка.Тем не менее, рост рынка будет затруднен из-за ужесточения государственного регулирования выбросов углерода заводами-изготовителями, истощения запасов ископаемого топлива и более высокого энергопотребления. Несколько заметных тенденций включают растущий сектор гражданского строительства, технологические достижения в процессе производства цемента и растущий спрос на сырой цемент, а также увеличение числа инфраструктурных проектов в развивающихся регионах.
Мировой рынок цемента сегментируется по типу, применению, производству и потреблению.В зависимости от типа мировой рынок цемента можно разделить на смешанный, портландцемент и другие, которые включают композитный, цветной, быстросхватывающийся, низкощелочной и воздухововлекающий цемент. С точки зрения применения мировой рынок цемента можно разделить на следующие сегменты: Нежилые и жилые. Рынок продолжает расширяться с точки зрения производства, потребления, импорта и экспорта.
Крупнейшим региональным рынком является Китай, благодаря быстрому развитию строительного сектора. Кроме того, в Китае, вероятно, произойдет некоторое снижение объемов потребления из-за экономических условий и высоких цен на цемент.Более того, развивающиеся страны Азии (включая Индию и Индонезию) и Ближний Восток и Африку (включая Египет и Алжир), вероятно, также значительно вырастут в ближайшие годы.
Объем отчета
В отчете представлен всесторонний анализ мирового рынка цемента, который сегментирован по типу, применению, производству, потреблению, импорту и экспорту, с потенциальным воздействием COVID-19.
Основные региональные рынки (развивающиеся страны Азии, Ближнего Востока и Африки, Латинская Америка, Западная Европа, Восточная Европа, Северная Америка и развитая Азия), а также охват стран Китая, Индии, Индонезии, Египта, Алжира, Бразилии, Колумбии , Мексика, Германия, Италия, Испания, Великобритания, Франция, Россия, Украина, Польша, США.S., Канада и Япония были проанализированы.
Динамика рынка, такая как движущие силы роста, рыночные тенденции и проблемы, тщательно анализируется.
Также подробно представлена конкурентная среда на рынке, а также профили компаний ведущих игроков (Anhui Conch, Holcim Ltd. (LafargeHolcim), HeidelbergCement AG, Cemex, Vulcan Materials Company и Eagle Materials Inc.).
ключевой целевой аудитории
Производители цемента
Сырье поставщики
Конец пользователей (инфраструктура промышленности и индустрии инфраструктуры)
Консультанты промышленности и инфраструктуры
Инвестиционные банки
Государственные органы и регулирующие органы
Обратите внимание на : 10 % бесплатной настройки соответствует 3 часам работы аналитика.
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт
Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.

Лучшие
Последние
Рубрики
Без рубрики
Бетон
Битум
Битумная грунтовка
Дсп
Кирпич
Пенопласт
Пенополистирол
Полезные советы
Применение пенополистирола
Применение шлакоблока
Разное
Раскрой ДСП
Строительство кирпичом
Тёплый фундамент
Утепление пенобетоном
Утепление пенопластом
Фундамент
Шлакоблок
akson-quick.ru © 2019