Как посчитать длину зная ширину и площадь: Как найти длину, если известна площадь и ширина

Что такое круг?

«Локус — это кривая или другая фигура, образованная всеми точками, удовлетворяющими определенному уравнению».

Окружность — это односторонняя фигура, но она также может быть описана как местоположение точек, где каждая точка находится на одинаковом расстоянии (на одинаковом расстоянии) от центра.

Пожалуйста, добавьте этот сайт в свой рекламный блок!

Для написания этих статей требуются время и усилия, и авторам нужно зарабатывать.Пожалуйста, рассмотрите возможность включения этого сайта в свой блокатор рекламы, если считаете его полезным. Вы можете сделать это, щелкнув значок блокировщика на панели инструментов и отключив его. Блокатор все равно будет работать на других сайтах.
Спасибо!

Угол, образованный двумя лучами, исходящими из центра круга Углы колеблются от 0 до 360 градусов.
Мы часто «заимствуем» буквы из греческого алфавита, чтобы использовать их в математике.Таким образом, греческая буква «p», которая является π (pi) и произносится как «пирог», является отношением длины окружности к диаметру.
Мы также используем греческую букву θ (theta) и произносится «the — ta» для обозначения углов.

части круга

Сектор — это часть круглого диска, окруженная двумя лучами и дугой.
Сегмент — это часть круглого диска, ограниченная дугой и хордой.
Полукруг — это особый случай сегмента, образованного, когда хорда равна длине диаметра.

Что такое Pi (π)?

Pi, представленный греческой буквой π — это отношение длины окружности к диаметру круга. Это нерациональное число, которое означает, что оно не может быть выражено в виде дроби в форме a / b, где a и b являются целыми числами.

Пи равно 3.1416 с округлением до 4 знаков после запятой.

Какова длина окружности круга?

Если диаметр круга равен D, а радиус равен R.

Тогда окружность C = πD

Но D = 2R

Так с точки зрения радиуса R

C = πD = 2πR

Какова площадь круга?

Площадь круга A = πR ²

Но D = R / 2

Таким образом, площадь с точки зрения радиуса R составляет

A = πR ² = π (D / 2) ² = πD ² /4

Что такое градусы и радианы?

Углы измеряются в градусах, но иногда, чтобы сделать математику проще и элегантнее, лучше использовать радианы, что является еще одним способом обозначения угла.Радиан — это угол, образованный дугой длины, равной радиусу круга. («Субстанция» означает соединение двух линий от конца дуги до центра).

Длина дуги R, равная радиусу R, соответствует углу в 1 радиан.

Таким образом, если окружность окружности равна 2πR = 2π раз R, угол для полной окружности будет в 2π раз на один радиан = 2π

А 360 градусов = 2π радиан

Как преобразовать градусы в радианы

360 градусов = 2π радиан

Деление обеих сторон на 360 дает

1 градус = 2π / 360 радиан

Затем умножьте обе стороны на

θ градусов = (2π / 360) x θ = θ (π / 180) радиан

Чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте на π / 180

Как перевести из радианов в градусы

2π радиан = 360 градусов

Разделите обе стороны на 2π, давая

1 радиан = 360 / (2π) градусов

Умножим обе стороны на θ, поэтому для угла θ радианы

θ радиан = 360 / (2π) x θ = (180 / π) θ градусов

Итак, чтобы преобразовать радианы в градусы, умножьте на 180 / π

Как определить длину дуги

Вы можете определить длину дуги, рассчитав, какую долю составляет угол 360 градусов для полного круга.

Полный угол 360 градусов имеет связанную длину дуги, равную окружности C

Итак, 360 градусов соответствует длине дуги C = 2πR

Разделите на 360, чтобы найти длину дуги для одного градуса:

1 градус соответствует длине дуги 2πR / 360

Чтобы найти длину дуги для угла θ, умножьте приведенный выше результат на θ:

1 x θ соответствует длине дуги (2πR / 360) x θ

Таким образом, длина дуги s для угла θ равна:

с = (2πR / 360) x θ = πθR / 180

Для радианов вывод намного проще:

По определению 1 радиан соответствует длине дуги R

Итак, если угол равен θ радиан, умножение на θ дает:

Длина дуги s = R x θ = Rθ

Что такое синус и косинус?

Прямоугольный треугольник имеет один угол измерения 90 градусов.Сторона, противоположная этому углу, называется гипотенузой , , и это самая длинная сторона. Синус и косинус являются тригонометрическими функциями угла и являются отношениями длин двух других сторон к гипотенузе прямоугольного треугольника.

На диаграмме ниже один из углов представлен греческой буквой θ.

Сторона а известна как «противоположная» сторона, а сторона b является «смежной» стороной с углом θ.

синус θ = длина противоположной стороны / длина гипотенузы

косинус θ = длина соседней стороны / длина гипотенузы

Синус и косинус применяются к углу, не обязательно к углу в треугольнике, поэтому можно просто иметь две линии, встречающиеся в одной точке, и оценивать синус или cos для этого угла.Однако синус и cos получаются из сторон воображаемого прямоугольного треугольника, наложенного на линии. На второй диаграмме ниже вы можете представить прямоугольный треугольник, наложенный на фиолетовый треугольник, из которого можно определить противоположные и соседние стороны и гипотенузу.

В диапазоне от 0 до 90 градусов, синус находится в диапазоне от 0 до 1, и потому в диапазоне от 1 до 0

Помните, что синус и косинус зависят только от угла, а не от размера треугольника. Таким образом, если длина a изменяется на диаграмме ниже, когда треугольник изменяется в размере, гипотенуза c также изменяется в размере, но отношение a к c остается постоянным.

Синус и косинус иногда сокращаются до греха и cos

Как рассчитать площадь сектора круга

Общая площадь круга равна πR ² , что соответствует углу 2π радиан для полного круга.

Если угол θ, то это θ / 2π — доля полного угла для круга.

Таким образом, площадь этого сектора умножается на общую площадь круга

или

(θ / 2π) x (πR ² ) = θR ² /2

Как рассчитать длину хорды, создаваемой углом

Длину хорды можно рассчитать с помощью правила косинуса.

Для треугольника XYZ на диаграмме ниже сторона, противоположная углу θ, является хордой с длиной c.

Из правила косинуса:

c ² = R ² + R ² -2RRCos θ

Упрощение:

c ² = R ² + R ² -2R ² Cos θ

или c ² = 2R ² (1 — Cos θ)

Но из формулы полуугольника (1-cos θ) / 2 = sin ² (θ / 2) или (1-cos θ) = 2sin ² (θ / 2)

Подставляя дает:

c ² = 2R ² (1 — Cos θ) = 2R ² 2sin ² (θ / 2) = 4R ² sin ² (θ / 2)

Получение квадратных корней с обеих сторон дает:

c = 2 Rsin (θ / 2)

Более простой вывод, полученный путем разделения треугольника XYZ на 2 равных треугольника и использования отношения синуса между противоположностью и гипотенузой, показан в расчете площади сегмента ниже.

Как вычислить площадь отрезка круга

Чтобы вычислить площадь отрезка, ограниченного хордой и дугой, образованной углом θ, сначала определите площадь треугольника, а затем вычтите ее из площади сектор, дающий площадь сегмента. (см. диаграммы ниже)

Треугольник с углом θ можно разделить пополам, получив два прямоугольных треугольника с углами θ / 2.

Грех (θ / 2) = а / р

So a = RSin (θ / 2) (длина шнура c = 2a = 2RSin (θ / 2)

Cos (θ / 2) = b / R

So b = RCos (θ / 2)

Площадь треугольника XYZ равна половине основания по высоте перпендикуляра, поэтому, если основание — это хорда XY, половина основания — это a, а высота перпендикуляра — b.Таким образом, площадь:

ab

Подстановка для a и b дает:

RSin (θ / 2) RCos (θ / 2)

= R ² Sin (θ / 2) Cos (θ / 2)

Но формула двойного угла утверждает, что Sin (2θ) = 2Sin (θ) Cos (θ)

Подставляя дает:

Площадь треугольника XYZ = R ² Sin (θ / 2) Cos (θ / 2) = R ² ((1/2) Sin θ) = (1/2) R ² Sin θ

Также площадь сектора составляет:

R ² (θ / 2)

А площадь сегмента — это разница между площадью сектора и треугольником, поэтому вычитание дает:

Площадь сегмента = R ² (θ / 2) — (1/2) R ² Грех θ

= (R ² /2) (θ — Sin θ)

Уравнение круга в стандартной форме

Если центр круга расположен в начале координат, мы можем взять любую точку на окружности и наложить прямоугольный треугольник с гипотенузой, соединяющей эту точку с центром.
Тогда из теоремы Пифагора квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов на двух других сторонах. Если радиус окружности равен r, то это гипотенуза прямоугольного треугольника, поэтому мы можем записать уравнение как:

x ² + y ² = r ²

Это уравнение круга в стандартной форме в декартовых координатах.

Если окружность центрирована в точке (a, b), уравнение окружности будет следующим:

(x — a) ² + (y — b) ² = r ²

Пример

Вот практический пример использования тригонометрии с дугами и хордами.Изогнутая стена построена перед зданием. Стена представляет собой часть круга. Необходимо определить расстояние от точек на кривой до стены здания (расстояние «B»), зная радиус кривизны R, длину хорды L, расстояние от хорды до стены S и расстояние от центральной линии до точки на Кривая А. Посмотрите, можете ли вы определить, как были получены уравнения. Подсказка: используйте теорему Пифагора.

Треугольник Калькулятор

Пожалуйста, предоставьте 3 значения, включая как минимум одну сторону, в следующие 6 полей и нажмите кнопку «Рассчитать». Когда радианы выбраны в качестве единицы измерения угла, они могут принимать значения, такие как pi / 2, pi / 4 и т. Д.

Треугольник — это многоугольник с тремя вершинами. Вершина — это точка, где встречаются две или более кривых, линий или ребер; в случае треугольника три вершины соединяются тремя отрезками, называемыми ребрами. Треугольник обычно называют его вершинами.Следовательно, треугольник с вершинами a, b и c обычно обозначается как Δabc. Кроме того, треугольники, как правило, описываются исходя из длины их сторон, а также их внутренних углов. Например, треугольник, в котором все три стороны имеют одинаковую длину, называется равносторонним треугольником, а треугольник, в котором две стороны имеют одинаковую длину, называется равнобедренным. Когда ни одна из сторон треугольника не имеет одинаковую длину, это называется разносторонним, как показано ниже.

Отметки на краю треугольника представляют собой обычное обозначение, которое отражает длину стороны, где одинаковое количество отметок означает равную длину.Аналогичные обозначения существуют для внутренних углов треугольника, обозначаемых различными числами концентрических дуг, расположенных в вершинах треугольника. Как видно из приведенных выше треугольников, длина и внутренние углы треугольника напрямую связаны, поэтому имеет смысл, что равносторонний треугольник имеет три равных внутренних угла и три стороны равной длины. Обратите внимание, что треугольник, представленный в калькуляторе, не показан в масштабе; хотя он выглядит равносторонним (и имеет угловые метки, которые обычно читаются как равные), он не обязательно является равносторонним и представляет собой просто представление треугольника.Когда вводятся фактические значения, вывод калькулятора будет отражать, как должна выглядеть форма входного треугольника.

Треугольники, классифицированные по их внутренним углам, делятся на две категории: прямые или наклонные. Прямой треугольник — это треугольник, в котором один из углов равен 90 °, и обозначается двумя отрезками, образующими квадрат в вершине, составляющей прямой угол. Самый длинный край прямоугольного треугольника, то есть край, противоположный прямому углу, называется гипотенузой.Любой треугольник, который не является прямоугольным, классифицируется как наклонный треугольник и может быть тупым или острым. В тупом треугольнике один из углов треугольника больше 90 °, а в остром треугольнике все углы меньше 90 °, как показано ниже.

Факты о треугольнике, теоремы и законы

• Учитывая длины всех трех сторон любого треугольника, каждый угол может быть рассчитан с использованием следующего уравнения.Обратитесь к треугольнику выше, предполагая, что a, b и c являются известными значениями.

Площадь Треугольника

Существует несколько различных уравнений для расчета площади треугольника, в зависимости от того, какая информация известна. Вероятно, наиболее известное уравнение для расчета площади треугольника включает его основание b и высоту h . «Основание» относится к любой стороне треугольника, где высота представлена ​​длиной отрезка, проведенного от вершины, противоположной основанию, до точки на основании, которая образует перпендикуляр.

Учитывая длину двух сторон и угол между ними, следующая формула может быть использована для определения площади треугольника. Обратите внимание, что используемые переменные относятся к треугольнику, показанному в калькуляторе выше. Дано a = 9, b = 7 и C = 30 °:

Другой метод расчета площади треугольника использует формулу Герона. В отличие от предыдущих уравнений, формула Герона не требует произвольного выбора стороны в качестве основания или вершины в качестве начала координат.Однако для этого требуется, чтобы длины трех сторон были известны. Опять же, со ссылкой на треугольник, представленный в калькуляторе, если a = 3, b = 4 и c = 5:

Медиана, инрадиус и оксирадиус

Медиана

Медиана треугольника определяется как длина отрезка, который простирается от вершины треугольника до середины противоположной стороны. Треугольник может иметь три медианы, все из которых будут пересекаться в центроиде (среднее арифметическое положение всех точек в треугольнике) треугольника.Обратитесь к рисунку, приведенному ниже, для пояснения.

Медианы треугольника представлены отрезками линии m _a , m _b и m _c . Длина каждой медианы может быть рассчитана следующим образом:

Где a, b и c представляют длину стороны треугольника, как показано на рисунке выше.

В качестве примера, учитывая, что a = 2, b = 3 и c = 4, медиана m _и может быть рассчитана следующим образом:

Inradius

Инрадиус — это радиус самого большого круга, который будет помещаться внутри данного многоугольника, в данном случае, треугольника.Inradius перпендикулярен каждой стороне многоугольника. В треугольнике значение радиуса можно определить, построив две угловые биссектрисы для определения стимулятора треугольника. Inradius — это перпендикулярное расстояние между стимулятором и одной из сторон треугольника. Любая сторона треугольника может использоваться до тех пор, пока определяется перпендикулярное расстояние между стороной и стимулятором, поскольку стимулятор, по определению, равноудален от каждой стороны треугольника.

Для целей данного калькулятора, вычисление радиуса рассчитывается с использованием площади (площади) и полупериметра (ов) треугольника, а также следующих формул:

, где a, b и c — стороны треугольника

Circumradius

Циррадиус определяется как радиус окружности, проходящей через все вершины многоугольника, в данном случае треугольника.Центр этого круга, где встречаются все перпендикулярные биссектрисы каждой стороны треугольника, является окружным центром треугольника и является точкой, из которой измеряется окружность. Окружный центр треугольника не обязательно должен быть внутри треугольника. Стоит отметить, что все треугольники имеют окружность (круг, проходящий через каждую вершину) и, следовательно, окружность.

Для целей данного калькулятора круговой луч рассчитывается по следующей формуле:

Где a — сторона треугольника, а A — угол, противоположный стороне a

Хотя используются сторона А и угол А, в формуле можно использовать любую из сторон и их соответствующие противоположные углы.